도함수

y = x²의 기울기는 x = −3에서 −6, 바닥에서 0, x = 3에서 6입니다. 식 하나 f′(x) = 2x가 이 값을 모두 줍니다.

모든 x에 기울기 하나씩

1단원에서는 f(x) = x²에 대해 f′(1) = 2와 f′(3) = 6을 구했는데, 점마다 극한을 하나씩 따로 계산해야 했습니다. 그보다는 x를 숫자로 바꾸지 않고 문자 그대로 두는 편이 더 효율적입니다. 도함수는 f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h이고, 극한이 존재하는 모든 x에서 정의됩니다. 예를 들어 x²이면 ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h이므로 2x로 다가갑니다. 이제 어떤 점의 기울기든 이 식에 대입 한 번만 하면 구할 수 있습니다. f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20입니다. 이처럼 미분은 함수 하나를 새로운 함수로 바꿉니다. 새 함수는 원래 함수의 기울기를 알려 주는 함수입니다.

식이 하나도 없어도 f의 그래프만 보고 f′의 모양을 대강 그릴 수 있습니다. f가 올라가는 곳에서는 그 위에 그은 접선의 기울기가 양수이니 f′가 x축 위에 있습니다. f가 내려가는 곳에서는 기울기가 음수이니 f′가 x축 아래에 있습니다. f에 매끄러운 봉우리나 골짜기가 있는 곳에서는 접선이 가로로 눕고 f′가 0을 지납니다. 예를 들어 f(x) = x³ − 3x의 그래프는 x = −1까지 오르고, x = 1까지 내려간 뒤 다시 오릅니다. 그러니 f′의 부호는 양수, 음수, 양수 순서로 바뀌고, −1과 1에서는 f′가 0입니다. 식으로 계산해도 결과가 같습니다. f′(x) = 3x² − 3이고, 이것은 근이 ±1인 아래로 볼록한 포물선입니다.

도함수가 존재하지 않는 곳

어떤 함수가 연속이어도 그 점에서 도함수가 없을 수 있습니다. 이럴 때 늘 드는 대표적인 예가 0에서의 f(x) = |x|입니다. 오른쪽에서 차분몫은 |h|/h = 1, 왼쪽에서는 −1입니다. 이렇게 양쪽의 한쪽 극한이 서로 다르니 f′(0)은 존재하지 않습니다. 그래프를 보면 그 이유가 보입니다. 뾰족하게 꺾여 있어서 그 점에서 접선이 하나로 정해지지 않습니다. OpenStax 교재는 함수가 한 점에서 미분 가능하지 않게 되는 경우를 다음과 같이 정리합니다. 꺾인 점, 수직 접선(0에서 x의 세제곱근처럼 기울기가 한없이 커지는 경우), 0에서의 x sin(1/x)처럼 더 복잡한 경우, 그리고 불연속입니다.

마지막 경우인 불연속은 극한 과정에서 배운 내용과 이어집니다. f가 a에서 미분 가능하면 f는 a에서 연속입니다. 하지만 거꾸로는 성립하지 않고, |x|가 그 증거입니다. |x|는 0에서 연속이지만 미분 가능하지는 않습니다. 그러니 미분 가능성이 연속성보다 더 강한 조건입니다. 꺾인 점도, 수직 접선도, 끊긴 곳도 없는 매끄러운 그래프는 정의역 전체에서 미분 가능합니다. 다항식, 사인, 코사인, 지수함수가 모두 그렇습니다.

도함수의 도함수

f′도 하나의 함수이니 f′에도 자기 도함수가 있습니다. 이를 이계도함수 f″라고 합니다. 예를 들어 x³ − 3x이면 f′(x) = 3x² − 3이고, f″(x) = 6x입니다. 이계도함수는 기울기 자체가 어떻게 변하고 있는지를 잽니다. 예를 들어 f가 위치이면 f′는 속도, f″는 가속도이고, 5단원에서 이 관계를 씁니다. 같은 방법으로 f‴과 그 이상으로 계속 미분해 갈 수도 있지만, 실제로 가장 자주 나오는 것은 앞의 두 개입니다.