関数としての導関数

y = x² の傾きは、x = −3 では −6、底では0、x = 3 では6です。f′(x) = 2x という1つの式で、すべて求められます。

それぞれの x に傾きを対応させます

単元1では、f(x) = x² に対して f′(1) = 2 と f′(3) = 6 を、それぞれ極限から求めました。x を文字のまま計算すると効率的です。導関数 f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h は、この極限が存在するすべての x で定義されます。x² では ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h で、2x に近づきます。これで f′(−3) = −6、f′(0) = 0、f′(10) = 20 と、代入だけで傾きが求まります。導関数は、もとの関数の傾きを返す新しい関数です。

式がなくても、f のグラフから f′ の概形を描けます。f が増加するところでは接線の傾きが正なので、f′ は x 軸の上にあります。f が減少するところでは下にあります。f に滑らかな山や谷があると接線は水平になり、f′ は0を通過します。f(x) = x³ − 3x は x = −1 まで増加し、x = 1 まで減少したあと、再び増加します。したがって f′ の符号は正、負、正と変わり、−1 と1で0になります。f′(x) = 3x² − 3 という式も一致しており、±1 を解に持つ下に凸の放物線です。

f は実線、f′ は破線です。f′ は、f が減少する −1 から1の間で負になり、山と谷で0になります。

微分できない点

連続な関数でも、微分できないことがあります。代表例は f(x) = |x| の0です。右からの差商は |h|/h = 1、左からは −1 です。左右の極限が異なるので、f′(0) は存在しません。グラフには角があり、接線を1本に定められません。OpenStaxでは、微分できない場合として、角、垂直接線（0で傾きが限りなく大きくなる x の3乗根など）、0での x sin(1/x) のような複雑な振る舞い、不連続を挙げています。

最後の例は極限のコースとつながります。f が a で微分可能なら、f は a で連続です。逆は成り立ちません。|x| は0で連続ですが微分できないためです。微分可能という条件のほうが強いのです。角も垂直接線も途切れもない滑らかなグラフは、定義域のすべての点で微分できます。多項式、正弦、余弦、指数関数はいずれもこれに当たります。

導関数をさらに微分します

f′ も関数なので、さらに微分して第2次導関数 f″ を求められます。x³ − 3x では、f′(x) = 3x² − 3、f″(x) = 6x です。第2次導関数は傾きそのものの変化を表します。f が位置なら f′ は速度、f″ は加速度で、単元5で扱います。f‴ 以降も求められますが、よく使うのは最初の2つです。

導関数の表記 f′(x)、dy/dx、df/dx、(d/dx) f(x) は、どれも同じ意味です。第2次導関数は f″(x) または d²y/dx² と書きます。

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f(x) = x³ − 3x に沿って点をドラッグしましょう。破線の曲線 f′ 上の紫の点は、その位置での傾きを高さで示します。

f(x) = x² なので f′(x) = 2x です。f′(−3) はいくつですか？
f(x) = x³ − 3x、f′(x) = 3x² − 3 のとき、f′(0) はいくつですか？
同じ f について、f′(2) はいくつですか？
x³ − 3x はどの区間で減少しますか？
- −1 から1の間
- x > 1
- x < −1
- 全域
f(x) = |x| のとき、f′(2) はいくつですか？
f(x) = |x| のとき、f′(0) はいくつですか？
- 存在しません
- 0
- 1
- −1
f が a で連続なら、必ず a で微分可能ですか？
- いいえ
- はい
f(x) = x³ − 3x、f″(x) = 6x のとき、f″(1) はいくつですか？
y = 2x + 7 の導関数のグラフはどのような形ですか？
- 水平な直線 y = 2
- 直線 y = 2x
- 点 (0, 7)
- 放物線
f の滑らかな山の頂点で、f′ の値はどうなりますか？
- 0
- 正です
- 負です
- 定義されません

ポイント

f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h は新しい関数です。d/dx x² = 2x です。
f が増加するとき f′ > 0、減少するとき f′ < 0、滑らかな山や谷では f′ = 0 です。
角、垂直接線、途切れのある点では微分できません。
微分可能なら連続ですが、逆は成り立ちません。
f″ は f′ の導関数です。

このコースの出典 (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17