Die Ableitung als Funktion

Die Steigung von y = x² ist −6 bei x = −3, unten 0 und bei x = 3 gleich 6. Eine einzige Formel, f′(x) = 2x, liefert alle Werte.

Eine Steigung für jedes x

In Einheit 1 hast du für f(x) = x² die Werte f′(1) = 2 und f′(3) = 6 jeweils mit einem eigenen Grenzwert berechnet. Einfacher ist es, x als Variable beizubehalten. Die Ableitungsfunktion f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h ist überall dort definiert, wo dieser Grenzwert existiert. Für x² gilt ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, was gegen 2x geht. Nun genügt Einsetzen: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. Die Ableitung macht aus einer Funktion eine neue Funktion, die die Steigung der ursprünglichen angibt.

Du kannst f′ aus dem Graphen von f ohne Formel skizzieren. Wo f steigt, sind die Tangentensteigungen positiv; dort liegt f′ über der x-Achse. Wo f fällt, liegt f′ darunter. An einem glatten Hoch- oder Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht, und f′ geht durch null. Bei f(x) = x³ − 3x steigt der Graph bis x = −1, fällt bis x = 1 und steigt dann wieder. f′ ist also erst positiv, dann negativ, dann positiv, mit Nullstellen bei −1 und 1. Die Formel bestätigt das: f′(x) = 3x² − 3 ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen ±1.

Wo die Ableitung nicht existiert

Eine Funktion kann stetig sein, ohne differenzierbar zu sein. Das klassische Beispiel ist f(x) = |x| bei 0. Von rechts ist der Differenzenquotient |h|/h = 1, von links ist er −1. Die einseitigen Grenzwerte stimmen nicht überein, also existiert f′(0) nicht. Im Graphen erkennst du den Grund: Er hat einen Knick, an dem es keine eindeutige Tangente gibt. OpenStax nennt folgende Gründe für fehlende Differenzierbarkeit: einen Knick, eine senkrechte Tangente (wie bei der Kubikwurzel von x an der Stelle 0, wo die Steigung unbegrenzt wächst), komplizierteres Verhalten wie bei x sin(1/x) an der Stelle 0 sowie Unstetigkeit.

Der letzte Fall knüpft an den Grenzwertkurs an. Ist f bei a differenzierbar, dann ist f dort stetig. Die Umkehrung ist falsch, wie |x| zeigt: bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Differenzierbarkeit ist also die stärkere Bedingung. Ein glatter Graph ohne Knicke, senkrechte Tangenten oder Unterbrechungen ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar. Polynome, Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion verhalten sich so.

Ableitungen von Ableitungen

Da f′ eine Funktion ist, besitzt sie selbst eine Ableitung: die zweite Ableitung f″. Für x³ − 3x gilt f′(x) = 3x² − 3 und f″(x) = 6x. Die zweite Ableitung misst, wie sich die Steigung selbst verändert. Beschreibt f den Ort, ist f′ die Geschwindigkeit und f″ die Beschleunigung; darum geht es in Einheit 5. Du kannst weiter zu f‴ und höheren Ableitungen gehen, doch die ersten beiden kommen am häufigsten vor.