Potenzregel und Grundregeln

Die Ableitung von x¹⁰ ist 10x⁹. Ziehe den Exponenten nach vorne und verringere ihn um eins. Dafür brauchst du keinen Grenzwert.

Ein Muster in den Grenzwerten

Jede Ableitung über die Grenzwertdefinition zu berechnen, wäre mühsam. Zum Glück folgen die Ergebnisse bestimmten Mustern. Du kennst bereits d/dx x = 1, d/dx x² = 2x und den Ansatz zu d/dx x³ = 3x². Die Potenzregel besagt für jede positive ganze Zahl n: d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. OpenStax beweist dies, indem (x + h)ⁿ mit dem binomischen Lehrsatz entwickelt wird. Der erste Term xⁿ fällt weg, danach kommt n xⁿ⁻¹ h. Jeder weitere Term enthält nach dem Teilen durch h noch ein h und verschwindet deshalb im Grenzwert.

Die Regel gilt auch über positive ganze Zahlen hinaus. Für negative Exponenten hat 1/x = x⁻¹ die Ableitung −1·x⁻² = −1/x². Das passt zu deinem Grenzwert für 1/x bei x = 1. Bei gebrochenen Exponenten hat √x = x^1/2 die Ableitung (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Bei x = 4 beträgt die Steigung von √x somit 1/4. Schreibe Wurzeln und Kehrwerte vor dem Ableiten als Potenzen. So lässt sich die Regel besonders gut nutzen.

Konstanten, Faktoren und Summen

Drei weitere Regeln folgen direkt aus den Grenzwertgesetzen. Die Ableitung einer Konstanten ist 0, weil eine waagerechte Gerade die Steigung 0 hat. Ein konstanter Faktor bleibt erhalten: d/dx (c·f) = c·f′. Summen und Differenzen leitest du gliedweise ab: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Zusammen mit der Potenzregel reichen diese Regeln für jedes Polynom. Für p(x) = 5x³ − 2x + 7 ist die Ableitung 15x² − 2. Die Konstante 7 fällt weg, weil eine Verschiebung nach oben oder unten keine Steigung ändert.

Mit den Regeln ist eine Tangente schnell berechnet. Für y = x³ bei x = 2 gilt: Der Punkt ist (2, 8), die Steigung 3(2)² = 12, und die Tangente lautet y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Für y = x² − 6x + 1 wird die Steigung 2x − 6 bei x = 3 null. Die Parabel hat dort an ihrem Tiefpunkt (3, −8) eine waagerechte Tangente. Stellen zu finden, an denen die Ableitung null ist, bildet den Kern von Einheit 6.

Ein Ergebnis überprüfen

Die Regeln sind schnell. Trotzdem lohnt sich gelegentlich ein Vergleich mit der Definition oder mit Zahlen. Sei f(x) = x³ bei x = 2. Die Potenzregel liefert f′(2) = 12. Mit h = 0.01 beträgt der Differenzenquotient (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601, mit h = 0.001 ungefähr 12.006. Die Zahlen nähern sich erwartungsgemäß von oben der 12. Ein Fehler wie 3x³ statt 3x² würde 24 ergeben und fällt mit einem einzigen Differenzenquotienten sofort auf. Das Labor unten ermöglicht denselben Vergleich für jeden Punkt, zu dem du ziehst.

An Polynomen erkennst du auch gut, was die Ableitung über die Form aussagt. Die Ableitung eines Polynoms vom Grad n hat den Grad n − 1. Eine kubische Funktion besitzt daher eine quadratische Ableitungsfunktion mit höchstens zwei Nullstellen und kann höchstens zweimal die Richtung wechseln. Eine quadratische Funktion hat eine lineare Ableitungsfunktion mit einer Nullstelle. Deshalb hat jede Parabel genau einen Extrempunkt.