La regla de la potencia y las reglas básicas

La derivada de x¹⁰ es 10x⁹. Baja el exponente como factor y réstale uno al exponente; no hace falta calcular un límite.

Un patrón en los límites

Calcular cada derivada con la definición de límite sería lento. Por suerte, las respuestas siguen patrones. Ya has visto d/dx x = 1, d/dx x² = 2x y el comienzo de d/dx x³ = 3x². La regla de la potencia dice que, para todo entero positivo n, d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. OpenStax la demuestra desarrollando (x + h)ⁿ con el teorema del binomio: el primer término xⁿ se cancela, el siguiente es n xⁿ⁻¹ h y todos los demás aún contienen h tras dividir entre h, por lo que desaparecen en el límite.

La regla se extiende más allá de los enteros positivos. Para exponentes negativos, 1/x = x⁻¹ tiene derivada −1·x⁻² = −1/x², como en el límite que calculaste para 1/x en x = 1. Para exponentes fraccionarios, √x = x^1/2 tiene derivada (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Así, en x = 4 la pendiente de √x es 1/4. Escribir raíces y recíprocos como potencias antes de derivar es el hábito que vuelve tan útil esta regla.

Constantes, múltiplos y sumas

Otras tres reglas se deducen directamente de las leyes de los límites. La derivada de una constante es 0, porque una recta horizontal tiene pendiente 0. Un factor constante se conserva: d/dx (c·f) = c·f′. Una suma o resta se deriva término a término: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Junto con la regla de la potencia, permiten derivar cualquier polinomio. Para p(x) = 5x³ − 2x + 7, la derivada es 15x² − 2. La constante 7 desaparece porque desplazar una gráfica hacia arriba o abajo no cambia ninguna pendiente.

Con las reglas, una recta tangente se obtiene en un minuto. Para y = x³ en x = 2, el punto es (2, 8), la pendiente es 3(2)² = 12 y la tangente es y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Para y = x² − 6x + 1, la pendiente 2x − 6 vale cero en x = 3, así que la parábola tiene ahí una tangente horizontal, en su punto más bajo (3, −8). Encontrar dónde se anula una derivada es la idea central de la unidad 6.

Comprobar una respuesta

Las reglas son rápidas, así que conviene comprobarlas de vez en cuando con la definición o con números. Toma f(x) = x³ en x = 2, donde la regla de la potencia da f′(2) = 12. Con h = 0.01 el cociente incremental es (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601, y con h = 0.001 es aproximadamente 12.006. Los números se acercan a 12 por arriba, como deben. Un error como escribir 3x³ en vez de 3x² daría 24 y un solo cociente incremental lo detecta enseguida. El laboratorio de abajo hace la misma comparación en cada punto al que arrastres.

Los polinomios también permiten ver qué dice la derivada sobre la forma. La derivada de un polinomio de grado n tiene grado n − 1, así que una cúbica tiene una función pendiente cuadrática con dos ceros como máximo y puede cambiar de sentido como máximo dos veces. Una cuadrática tiene una función pendiente lineal con un solo cero: por eso cada parábola tiene exactamente un punto de giro.