Reglas del producto, del cociente y de la cadena

Desarrollar (3x + 1)⁴ requiere cinco términos algebraicos. La regla de la cadena da su derivada, 12(3x + 1)³, en una línea.

La regla del producto

La unidad anterior advirtió que la derivada de un producto no es el producto de las derivadas. La regla correcta es d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Imagina un rectángulo cuyos lados f y g crecen. Su área f·g aumenta en dos franjas: una junto al lado g de ancho Δf y otra junto al lado f de ancho Δg, más una esquina diminuta que desaparece en el límite. Para f(x) = x² y g(x) = x³ + 1, la regla da 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Desarrollar primero, x⁵ + x², da la misma respuesta.

La regla del cociente

Para un cociente, d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², donde g no sea cero. El orden del numerador importa por el signo menos; puedes recordarlo como denominador por derivada del numerador, menos numerador por derivada del denominador, todo sobre el denominador al cuadrado. Para x/(x + 1): f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1, así que la derivada es ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². En x = 1 vale 1/4. La regla de la potencia para exponentes negativos, que usaste con 1/x, es un caso particular.

Seno y coseno

OpenStax obtiene la derivada del seno a partir de la definición de límite usando dos límites del curso anterior: (sin h)/h → 1 y (cos h − 1)/h → 0 cuando h → 0, con h en radianes. El resultado es d/dx sin x = cos x y, de forma similar, d/dx cos x = −sin x. Puedes ver el primero en el laboratorio: la pendiente de sin x es 1 en x = 0, 0 en el máximo x = π/2 y −1 en x = π, exactamente los valores de cos x. Estas fórmulas solo valen en radianes.

La regla de la cadena

Muchas funciones se construyen metiendo una dentro de otra: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). La regla de la cadena sirve para todas: si y = f(g(x)), entonces y′ = f′(g(x))·g′(x). Deriva la función exterior, deja intacta la interior y multiplica por la derivada de la interior. Para (3x + 1)⁴, la exterior es u⁴, con derivada 4u³, y la interior 3x + 1 tiene derivada 3; por tanto, la derivada es 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. En notación de Leibniz, dy/dx = (dy/du)(du/dx), que parece una cancelación de fracciones y ayuda a recordarla.

La derivada interior es el factor que suele olvidarse. La derivada de sin(2x) es cos(2x)·2, así que en x = 0 la pendiente es 2, el doble que la de sin x ahí, porque la gráfica se comprime horizontalmente por un factor de 2. Para √(x² + 9) = (x² + 9)^1/2, la derivada es (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9); en x = 4 vale 4/5.