Regras do produto, do quociente e da cadeia

Expandir (3x + 1)⁴ produz cinco termos algébricos. A regra da cadeia fornece sua derivada, 12(3x + 1)³, em uma linha.

A regra do produto

A unidade anterior alertou que a derivada de um produto não é o produto das derivadas. A regra correta é d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Imagine um retângulo cujos lados f e g crescem. Sua área f·g aumenta em duas faixas: uma ao longo do lado g, com largura Δf, e outra ao longo do lado f, com largura Δg, mais um pequeno canto que desaparece no limite. Para f(x) = x² e g(x) = x³ + 1, a regra dá 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Expandir primeiro, obtendo x⁵ + x², dá a mesma resposta.

A regra do quociente

Para um quociente, d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², onde g não é zero. A ordem no numerador importa por causa do sinal de menos. Uma forma de lembrar é: derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, tudo sobre o quadrado da de baixo. Para x/(x + 1): f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1, então a derivada é ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². Em x = 1, vale 1/4. A regra da potência para expoentes negativos, usada em 1/x, é um caso particular.

Seno e cosseno

O OpenStax calcula a derivada do seno pela definição, usando dois limites do curso anterior: (sin h)/h → 1 e (cos h − 1)/h → 0 quando h → 0, com h em radianos. O resultado é d/dx sin x = cos x e, de forma semelhante, d/dx cos x = −sin x. Você pode ver o primeiro no laboratório abaixo: a inclinação de sin x é 1 em x = 0, 0 no máximo x = π/2 e −1 em x = π, exatamente os valores de cos x. Essas fórmulas só valem em radianos.

A regra da cadeia

Muitas funções são construídas colocando uma dentro de outra: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). A regra da cadeia resolve todas elas: se y = f(g(x)), então y′ = f′(g(x))·g′(x). Derive a função externa, mantenha a interna como está e multiplique pela derivada da interna. Para (3x + 1)⁴, a externa é u⁴, com derivada 4u³, e a interna 3x + 1 tem derivada 3. Logo, a derivada é 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. Na notação de Leibniz, dy/dx = (dy/du)(du/dx), que parece um cancelamento de frações e ajuda a lembrar a regra.

A derivada interna é o fator que muita gente esquece. A derivada de sin(2x) é cos(2x)·2, então em x = 0 a inclinação é 2, o dobro da inclinação de sin x ali, pois o gráfico é comprimido horizontalmente por um fator 2. Para √(x² + 9) = (x² + 9)^1/2, a derivada é (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9); em x = 4, vale 4/5.