곱, 몫, 합성함수의 미분

(3x + 1)⁴을 전개하려면 항 다섯 개를 계산해야 합니다. 합성함수의 미분법은 그 도함수 12(3x + 1)³을 한 줄로 줍니다.

곱의 미분법

앞 단원에서 곱의 도함수는 도함수끼리의 곱이 아니라고 미리 일러 두었습니다. 올바른 규칙은 다음과 같습니다. (f·g)′ = f′·g + f·g′입니다. 두 변 f와 g가 모두 자라고 있는 직사각형을 하나 생각해 보세요. 이 직사각형의 넓이 f·g는 두 개의 띠만큼 늘어납니다. 하나는 변 g를 따라 붙는 폭 Δf인 띠이고, 다른 하나는 변 f를 따라 붙는 폭 Δg인 띠입니다. 여기에 극한에서 사라지는 작은 모서리 조각이 하나 더 있습니다. 예를 들어 f(x) = x², g(x) = x³ + 1이면 이 규칙에 따라 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x입니다. 먼저 곱을 전개해 x⁵ + x²로 만든 다음 미분해도 같은 답이 나옵니다.

몫의 미분법

몫의 규칙은 g가 0이 아닌 모든 곳에서 (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g²입니다. 분자에 빼기가 들어 있으니 두 항의 순서가 중요합니다. 「분모 곱하기 분자의 미분 빼기 분자 곱하기 분모의 미분, 나누기 분모의 제곱」으로 외우면 편합니다. 예를 들어 x/(x + 1)이면 f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1이라 도함수는 ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)²입니다. x = 1을 넣으면 이 값은 1/4입니다. 앞에서 1/x에 썼던 음의 지수 거듭제곱 법칙은 이 규칙의 특별한 경우입니다.

사인과 코사인

OpenStax 교재는 극한 과정에서 본 두 극한, h가 라디안일 때 h → 0에서 (sin h)/h → 1과 (cos h − 1)/h → 0을 써서 사인의 도함수를 정의로부터 구합니다. 그 결과로 sin x의 도함수는 cos x가 되고, 마찬가지로 cos x의 도함수는 −sin x입니다. 이 가운데 첫째 식은 아래 실험실에서 직접 확인할 수 있습니다. sin x의 기울기는 x = 0에서 1, 꼭대기 x = π/2에서 0, x = π에서 −1로, 정확히 cos x의 값입니다. 단, 이 공식들은 각을 라디안으로 잴 때에만 성립합니다.

합성함수의 미분법

많은 함수는 한 함수를 다른 함수 안에 집어넣어 만든 것입니다. (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9)가 그렇습니다. 합성함수의 미분법(chain rule) 하나가 이런 함수를 모두 처리합니다. y = f(g(x))이면 y′ = f′(g(x))·g′(x)입니다. 먼저 바깥 함수를 미분하되 안쪽은 건드리지 않고 그대로 둡니다. 그다음 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다. (3x + 1)⁴이면 바깥은 u⁴이고 도함수가 4u³, 안쪽 3x + 1의 도함수는 3이므로 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³입니다. 라이프니츠 기호로 쓰면 dy/dx = (dy/du)(du/dx)입니다. 마치 분수가 약분되는 것처럼 보이기 때문에, 이 규칙을 기억하는 믿을 만한 방법이 됩니다.

이 계산에서 사람들이 가장 자주 빠뜨리는 것이 안쪽 함수의 도함수입니다. sin(2x)의 도함수는 cos(2x)·2이므로 x = 0에서 기울기는 2로 sin x의 두 배입니다. 그래프가 가로 방향으로 2배만큼 좁게 눌렸기 때문입니다. √(x² + 9) = (x² + 9)^1/2의 도함수는 (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9)이고, x = 4에서 4/5입니다.