Правила для произведения, частного и сложной функции
Разложение (3x + 1)⁴ даёт пять слагаемых. Правило дифференцирования сложной функции даёт производную 12(3x + 1)³ одной строкой.
Производная произведения
В прошлом уроке мы предупреждали: производная произведения не равна произведению производных. Верное правило: d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Представь прямоугольник, обе стороны которого, f и g, растут. Площадь f·g увеличивается на две полоски: вдоль стороны g шириной Δf и вдоль стороны f шириной Δg, плюс маленький уголок, исчезающий в пределе. Для f(x) = x² и g(x) = x³ + 1 правило даёт 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Если сначала раскрыть скобки, получим x⁵ + x² и тот же ответ.
Производная частного
Для частного d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g² везде, где g не равна нулю. Из-за минуса порядок слагаемых в числителе важен. Запомнить можно так: производная верхней на нижнюю минус верхняя на производную нижней, всё делится на квадрат нижней. Для x/(x + 1): f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1, поэтому производная равна ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². При x = 1 это 1/4. Правило отрицательной степени, применённое к 1/x, является частным случаем.
Синус и косинус
OpenStax выводит производную синуса по определению, используя два предела из курса пределов: (sin h)/h → 1 и (cos h − 1)/h → 0 при h → 0, где h измеряется в радианах. Получается d/dx sin x = cos x, аналогично d/dx cos x = −sin x. Первую формулу видно в практикуме ниже: наклон sin x равен 1 при x = 0, 0 в вершине x = π/2 и −1 при x = π. Это в точности значения cos x. Формулы верны только для радиан.
Производная сложной функции
Многие функции получаются вложением одной функции в другую: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). Правило дифференцирования сложной функции подходит для всех: если y = f(g(x)), то y′ = f′(g(x))·g′(x). Найди производную внешней функции, оставив внутреннюю без изменения, затем умножь на производную внутренней. Для (3x + 1)⁴ внешняя функция u⁴ имеет производную 4u³, а внутренняя 3x + 1 имеет производную 3. Значит, производная равна 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. В обозначениях Лейбница dy/dx = (dy/du)(du/dx): похоже на сокращение дробей и хорошо запоминается.
Производную внутренней функции часто забывают. Производная sin(2x) равна cos(2x)·2, поэтому при x = 0 наклон равен 2, вдвое больше наклона sin x в той же точке: график сжат по горизонтали в 2 раза. Для √(x² + 9) = (x² + 9)1/2 производная равна (1/2)(x² + 9)−1/2·2x = x/√(x² + 9); при x = 4 это 4/5.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
- Чему равно d/dx [x²(x³ + 1)] при x = 1?
- Чему равно d/dx [x/(x + 1)] при x = 1?
- Чему равно d/dx [(x² + 1)/x] при x = 1?
- Чему равно d/dx (3x + 1)⁴ при x = 0?
- Чему равно d/dx (x² + 1)³ при x = 1?
- Чему равно d/dx sin(2x) при x = 0?
- Чему равно d/dx cos x при x = π/2?
- Чему равно d/dx √(x² + 9) при x = 4? (Десятичная дробь)
- В правиле для f(g(x)) на что умножается f′(g(x))?
- g′(x)
- g(x)
- f′(x)
- ни на что
- Почему для d/dx sin x = cos x величина x должна быть в радианах?
- В доказательстве используется (sin h)/h → 1, что верно только для радиан
- Градусы не являются числами
- Косинус не определён в градусах
- Это не имеет значения
- Произведение: (fg)′ = f′g + fg′.
- Частное: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
- В радианах: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x.
- Сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x); не забывай производную внутренней функции.
Источники курса (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Проверено: 2026-10-17