Производная степени и основные правила

Производная x¹⁰ равна 10x⁹. Вынеси показатель множителем вперёд и уменьши его на единицу; вычислять предел не нужно.

Закономерность в пределах

Вычислять каждую производную по определению через предел было бы долго. К счастью, ответы подчиняются закономерностям. Ты уже видел d/dx x = 1, d/dx x² = 2x и начало вычисления d/dx x³ = 3x². Правило дифференцирования степени гласит: для любого положительного целого n имеем d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. В OpenStax оно доказывается разложением (x + h)ⁿ по биному Ньютона: первый член xⁿ сокращается, следующий равен n xⁿ⁻¹ h, а все остальные после деления на h всё ещё содержат h и потому исчезают в пределе.

Правило действует не только для положительных целых показателей. При отрицательных показателях 1/x = x⁻¹ имеет производную −1·x⁻² = −1/x², что совпадает с пределом, вычисленным для 1/x при x = 1. При дробных показателях √x = x^1/2 имеет производную (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Поэтому при x = 4 наклон √x равен 1/4. Полезно привыкнуть записывать корни и обратные величины как степени перед дифференцированием.

Константы, множители, суммы

Ещё три правила следуют прямо из свойств пределов. Производная константы равна 0, поскольку горизонтальная прямая имеет угловой коэффициент 0. Постоянный множитель выносится: d/dx (c·f) = c·f′. Сумма или разность дифференцируется по членам: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Вместе с правилом степени этого хватает для любого многочлена. Для p(x) = 5x³ − 2x + 7 производная равна 15x² − 2. Константа 7 исчезает, потому что сдвиг графика вверх или вниз не меняет наклон.

С правилами уравнение касательной находится за минуту. Для y = x³ при x = 2 точка равна (2, 8), угловой коэффициент равен 3(2)² = 12, а касательная задаётся y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Для y = x² − 6x + 1 угловой коэффициент 2x − 6 обращается в ноль при x = 3, поэтому парабола имеет горизонтальную касательную в нижней точке (3, −8). Поиск нулей производной составляет основную идею урока 6.

Проверка ответа

Правила работают быстро, но иногда стоит сверяться с определением или числами. Возьмём f(x) = x³ при x = 2, где правило степени даёт f′(2) = 12. При h = 0.01 разностное отношение равно (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601, а при h = 0.001 примерно 12.006. Числа приближаются к 12 сверху, как и должны. Ошибочная запись 3x³ вместо 3x² дала бы 24, и одно разностное отношение сразу выявляет ошибку. В практикуме ниже такое же сравнение выполняется для каждой выбранной точки.

На многочленах удобно увидеть, что производная говорит о форме графика. Производная многочлена степени n имеет степень n − 1, поэтому у кубической функции производная квадратична и имеет не более двух нулей, а сам график может менять направление не более двух раз. У квадратичной функции производная линейна и имеет один ноль, поэтому у каждой параболы ровно одна точка поворота.