Aturan pangkat dan aturan dasar

Turunan x¹⁰ adalah 10x⁹. Turunkan pangkat menjadi faktor di depan, lalu kurangi pangkatnya satu; tidak perlu menghitung limit.

Pola dalam limit

Menghitung setiap turunan dari definisi limit tentu lambat. Untungnya, hasilnya mengikuti pola. Kamu sudah melihat d/dx x = 1, d/dx x² = 2x, dan awal dari d/dx x³ = 3x². Aturan pangkat menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. OpenStax membuktikannya dengan menguraikan (x + h)ⁿ memakai teorema binomial: suku pertama xⁿ saling menghapus, suku berikutnya n xⁿ⁻¹ h, dan semua suku lain masih mengandung h setelah dibagi h, sehingga hilang dalam limit.

Aturan ini juga berlaku di luar bilangan bulat positif. Untuk pangkat negatif, 1/x = x⁻¹ memiliki turunan −1·x⁻² = −1/x², sesuai limit yang kamu hitung untuk 1/x di x = 1. Untuk pangkat pecahan, √x = x^1/2 memiliki turunan (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Jadi di x = 4, gradien √x adalah 1/4. Biasakan mengubah akar dan kebalikan menjadi bentuk pangkat sebelum menurunkannya agar aturan ini lebih berguna.

Konstanta, kelipatan, penjumlahan

Tiga aturan lain langsung mengikuti hukum limit. Turunan konstanta adalah 0 karena garis mendatar memiliki gradien 0. Faktor konstanta dapat dikeluarkan: d/dx (c·f) = c·f′. Jumlah atau selisih diturunkan per suku: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Bersama aturan pangkat, aturan ini mencakup semua polinom. Untuk p(x) = 5x³ − 2x + 7, turunannya 15x² − 2. Konstanta 7 hilang karena menggeser grafik ke atas atau ke bawah tidak mengubah gradien mana pun.

Dengan aturan-aturan ini, persamaan garis singgung bisa diperoleh dalam satu menit. Untuk y = x³ di x = 2: titiknya (2, 8), gradiennya 3(2)² = 12, dan garis singgungnya y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Untuk y = x² − 6x + 1, gradien 2x − 6 bernilai nol di x = 3, sehingga parabola memiliki garis singgung mendatar di titik terendahnya, (3, −8). Mencari tempat turunan bernilai nol menjadi gagasan utama unit 6.

Memeriksa jawaban

Aturan turunan cepat digunakan, jadi sesekali cocokkan hasilnya dengan definisi atau perhitungan angka. Ambil f(x) = x³ di x = 2, ketika aturan pangkat memberikan f′(2) = 12. Dengan h = 0.01, hasil bagi selisihnya (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601, dan dengan h = 0.001 nilainya sekitar 12.006. Angka-angka itu mendekati 12 dari atas, sebagaimana mestinya. Kesalahan seperti menulis 3x³ alih-alih 3x² akan menghasilkan 24, dan satu hasil bagi selisih langsung mendeteksinya. Laboratorium di bawah melakukan perbandingan yang sama pada setiap titik yang kamu seret.

Polinom juga cocok untuk melihat hubungan turunan dengan bentuk grafik. Turunan polinom berderajat n memiliki derajat n − 1, sehingga fungsi kubik memiliki fungsi gradien kuadrat dengan paling banyak dua nilai nol. Jadi kurva kubik paling banyak berbalik arah dua kali. Fungsi kuadrat memiliki fungsi gradien linear dengan satu nilai nol; itulah sebabnya setiap parabola memiliki tepat satu titik balik.