Aturan perkalian, pembagian, dan rantai

Menguraikan (3x + 1)⁴ menghasilkan lima suku aljabar. Aturan rantai memberikan turunannya, 12(3x + 1)³, dalam satu baris.

Aturan perkalian

Unit sebelumnya mengingatkan bahwa turunan hasil kali bukanlah hasil kali turunan. Aturan yang benar adalah d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Bayangkan persegi panjang dengan sisi f dan g yang sama-sama bertambah. Luas f·g bertambah dalam dua jalur: sepanjang sisi g dengan lebar Δf, dan sepanjang sisi f dengan lebar Δg, ditambah sudut kecil yang hilang dalam limit. Untuk f(x) = x² dan g(x) = x³ + 1, aturan ini memberikan 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Jika diuraikan dahulu menjadi x⁵ + x², jawabannya sama.

Aturan pembagian

Untuk hasil bagi, d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², di mana pun g tidak nol. Urutan pada pembilang penting karena ada tanda minus; pengingatnya adalah penyebut kali turunan pembilang, dikurangi pembilang kali turunan penyebut, dibagi kuadrat penyebut. Untuk x/(x + 1): f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1, sehingga turunannya ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². Di x = 1 nilainya 1/4. Aturan pangkat negatif yang kamu gunakan pada 1/x adalah kasus khusus aturan ini.

Sinus dan kosinus

OpenStax menghitung turunan sinus dari definisi limit, memakai dua limit dari kursus limit: (sin h)/h → 1 dan (cos h − 1)/h → 0 saat h → 0, dengan h dalam radian. Hasilnya d/dx sin x = cos x, dan serupa dengannya, d/dx cos x = −sin x. Hasil pertama terlihat pada laboratorium di bawah: gradien sin x adalah 1 di x = 0, 0 pada puncak x = π/2, dan −1 di x = π, tepat sama dengan nilai cos x. Rumus-rumus ini hanya berlaku dalam radian.

Aturan rantai

Banyak fungsi dibentuk dengan memasukkan satu fungsi ke fungsi lain: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). Aturan rantai menangani semuanya: jika y = f(g(x)), maka y′ = f′(g(x))·g′(x). Turunkan fungsi luar, biarkan fungsi dalam tetap, lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam. Untuk (3x + 1)⁴, fungsi luarnya u⁴ dengan turunan 4u³, dan fungsi dalam 3x + 1 memiliki turunan 3. Jadi turunannya 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. Dalam notasi Leibniz, dy/dx = (dy/du)(du/dx), yang tampak seperti pencoretan pecahan dan mudah diingat.

Turunan fungsi dalam adalah faktor yang sering terlupa. Turunan sin(2x) adalah cos(2x)·2, sehingga di x = 0 gradiennya 2, dua kali gradien sin x di sana, karena grafik dipadatkan secara mendatar dengan faktor 2. Untuk √(x² + 9) = (x² + 9)^1/2, turunannya (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9); di x = 4 nilainya 4/5.