Turunan sebagai laju perubahan

Batu yang dijatuhkan dari ketinggian 64 kaki memiliki ketinggian −16t² + 64. Turunkan sekali untuk memperoleh kecepatannya, −32t; batu menyentuh tanah pada t = 2 dengan kelajuan 64 kaki per detik.

Posisi, kecepatan, percepatan

Jika s(t) adalah posisi benda yang bergerak sepanjang garis pada waktu t, kecepatannya v(t) = s′(t), yaitu laju perubahan sesaat posisi. Kecepatan bertanda: positif jika benda bergerak ke arah positif, negatif jika bergerak sebaliknya. Kelajuan adalah nilai mutlak |v(t)| dan mengabaikan arah. Percepatan a(t) = v′(t) = s″(t) menyatakan laju perubahan kecepatan. OpenStax membahasnya dalam bagian 3.4 dan menerapkannya pada benda jatuh dan benda yang dilempar.

Ambil batu dari kursus limit, s(t) = −16t² + 64 kaki. Kecepatannya v(t) = −32t kaki per sekon. Pada t = 0.5 nilainya −16, sesuai arah pendekatan gradien sekan. Batu menyentuh tanah ketika s(t) = 0: 16t² = 64, t = 2 sekon. Kecepatannya saat itu v(2) = −64 kaki per sekon, sehingga kelajuannya 64 kaki per sekon. Percepatannya a(t) = −32 kaki per sekon kuadrat setiap saat, yaitu tarikan gravitasi konstan dalam satuan ini. Semua tanda negatif bermakna sama: ke bawah.

Benda yang dilempar ke atas

Sebuah latihan OpenStax melempar batu ke atas dari tanah dengan kecepatan 15 meter per sekon, dengan ketinggian h(t) = 15t − 4.9t² meter. Kecepatannya v(t) = 15 − 9.8t. Pada t = 1 batu masih naik dengan kecepatan 5.2 meter per sekon. Batu berhenti naik ketika v(t) = 0, pada t = 15/9.8 ≈ 1.53 sekon. Saat itulah titik tertingginya: h ≈ 11.48 meter. Setelah itu v negatif dan batu turun. Percepatannya selalu −9.8 meter per sekon kuadrat, nilai g yang digunakan dalam latihan itu.

Perhatikan cara perhitungan terakhir: puncak lintasan tercapai ketika kecepatan, yang merupakan turunan, sama dengan nol. Ini pengantar unit 6. Perhatikan juga bahwa laju rata-rata dan sesaat menjawab pertanyaan berbeda. Kecepatan rata-rata batu selama jatuh adalah (0 − 64)/2 = −32 kaki per sekon, sedangkan kecepatan sesaatnya berubah dari 0 di awal menjadi −64 di akhir.

Bukan hanya gerak

Setiap besaran yang berubah terhadap besaran lain memiliki turunan yang bermakna. Jika P(t) adalah populasi, P′(t) adalah laju pertumbuhannya dalam individu per tahun. Jika C(x) adalah biaya membuat x barang, C′(x), yaitu biaya marginal, mendekati biaya membuat satu barang tambahan. Jika V adalah volume air dalam tangki, dV/dt adalah debitnya. Dalam setiap kasus, satuan turunan menunjukkan cara membacanya, seperti kaki per sekon pada batu tadi.