Beranda›Kalkulus›Turunan

Maksimum dan minimum

Di antara semua persegi panjang berkeliling 40, luas terbesar dimiliki persegi berukuran 10 kali 10. Persegi itu dapat ditemukan dengan turunan, yaitu dengan mencari titik bergradien nol.

Puncak, lembah, dan titik kritis

Fungsi memiliki maksimum lokal di c jika f(c) setidaknya sebesar semua nilai di sekitarnya, dan minimum lokal jika setidaknya sekecil semuanya. Inilah puncak dan lembah grafik. Teorema Fermat menurut OpenStax menyatakan: jika f memiliki ekstrem lokal di c dan f terdiferensialkan di c, maka f′(c) = 0. Alasannya terlihat pada gambar: garis singgung pada puncak mulus mendatar. Jadi calon ekstrem lokal adalah titik kritis, yaitu nilai c dengan f′(c) = 0 atau f′(c) tidak ada.

Titik kritis hanya calon. f(x) = x³ memiliki f′(0) = 0, tetapi grafik menanjak di kedua sisi 0 tanpa puncak atau lembah di sana. Untuk memastikannya, gunakan uji turunan pertama: jika f′ berubah dari positif menjadi negatif di c, f memiliki maksimum lokal di sana; dari negatif menjadi positif, minimum lokal; jika tandanya tidak berubah, bukan keduanya. Untuk f(x) = x³ − 3x, persamaan f′(x) = 3x² − 3 = 0 memberikan x = −1 dan x = 1. Tanda turunannya berurutan +, −, +, sehingga f(−1) = 2 adalah maksimum lokal dan f(1) = −2 minimum lokal.

f(x) = x³ − 3x. Garis singgung mendatar pada titik kritis x = ±1. Pada [0, 3], nilai terendahnya −2 di x = 1 dan tertingginya 18 di ujung interval x = 3.

Tertinggi dan terendah pada interval tertutup

Teorema nilai ekstrem menjamin bahwa fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b] memiliki maksimum mutlak dan minimum mutlak di sana. Keduanya terletak pada titik kritis di dalam interval atau pada ujung interval. Dari sini diperoleh metode interval tertutup: cari titik kritis dalam (a, b), hitung f di setiap titik itu serta di a dan b, lalu pilih nilai terbesar dan terkecil. Untuk x³ − 3x pada [0, 3]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Minimum mutlaknya −2 dan maksimum mutlaknya 18, terletak di ujung interval dengan f′ yang sama sekali tidak nol.

Soal optimasi

Berikut contoh rekaan bergaya OpenStax bagian 4.7. Tersedia pagar 40 meter untuk kandang persegi panjang. Jika satu sisinya x, sisi lain 20 − x, sehingga luasnya A(x) = x(20 − x) = 20x − x² untuk 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x bernilai nol di x = 10. Pada ujung interval, A(0) = A(20) = 0, sedangkan A(10) = 100. Jadi kandang terbaik berbentuk persegi 10 kali 10 dengan luas 100 meter persegi. Langkahnya selalu sama: tulis besaran sebagai fungsi satu variabel, tentukan intervalnya, lalu gunakan metode interval tertutup.

Sudut juga diperhitungkan. |x| memiliki minimum di 0, tempat f′ tidak ada. Karena itu titik kritis mencakup tempat turunan tidak ada, bukan hanya tempat nilainya nol.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

f(x) = x³ − 3x dengan titik kritis ditandai. Seret titik melewati puncak dan lembah: gradien melewati 0 pada keduanya.

Apa titik kritis f(x) = x³ − 3x?
- x = −1 dan x = 1
- hanya x = 0
- x = 3
- x = ±3
Berapa nilai maksimum lokal x³ − 3x?
Berapa nilai minimum lokal x³ − 3x?
Berapa maksimum mutlak x³ − 3x pada [0, 3]?
f(x) = x² − 6x + 5. Berapa nilai minimumnya?
f yang sama pada [0, 4]: berapa maksimum mutlaknya?
Persegi panjang memiliki keliling 40. Berapa luas terbesar yang mungkin?
Jika kelilingnya 60, berapa luas terbesarnya?
f(x) = x³ memiliki f′(0) = 0. Di x = 0, f memiliki:
- bukan maksimum maupun minimum
- maksimum lokal
- minimum lokal
- maksimum mutlak
f′ berubah dari negatif menjadi positif di c. Maka f(c) adalah:
- minimum lokal
- maksimum lokal
- bukan keduanya
- tidak terdefinisi
Di mana ekstrem mutlak fungsi kontinu f pada [a, b] dapat terjadi?
- Pada titik kritis atau ujung interval
- Hanya saat f′ = 0
- Hanya pada ujung interval
- Hanya di x = 0

Poin penting

Titik kritis: f′(c) = 0 atau f′(c) tidak ada.
Fermat: ekstrem lokal pada titik tempat f terdiferensialkan memiliki f′ = 0; kebalikannya tidak berlaku (x³).
Uji turunan pertama: dari + ke − berarti maksimum, dari − ke + berarti minimum.
Metode interval tertutup: bandingkan f pada titik kritis dan ujung interval.

Sumber kursus ini (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

Diperiksa: 2026-10-17