Максимумы и минимумы

Среди прямоугольников с периметром 40 наибольшую площадь имеет квадрат 10 на 10. Его можно найти с помощью производной: нужна точка, где наклон равен нулю.

Вершины, впадины и критические точки

Функция имеет локальный максимум в c, если f(c) не меньше всех соседних значений, и локальный минимум, если не больше их. Это вершины и впадины графика. Теорема Ферма в формулировке OpenStax гласит: если f имеет локальный экстремум в c и дифференцируема в c, то f′(c) = 0. Причина видна на рисунке: в гладкой вершине касательная горизонтальна. Поэтому кандидатами на локальный экстремум являются критические точки: значения c, где f′(c) = 0 или f′(c) не существует.

Критическая точка является лишь кандидатом. Для f(x) = x³ имеем f′(0) = 0, но график возрастает с обеих сторон от 0, без вершины и впадины. Для проверки используй признак по первой производной: если f′ меняет знак с плюса на минус в c, здесь локальный максимум; с минуса на плюс, локальный минимум; без смены знака нет ни того ни другого. Для f(x) = x³ − 3x уравнение f′(x) = 3x² − 3 = 0 даёт x = −1 и x = 1. Знаки производной идут в порядке +, −, +, поэтому f(−1) = 2 является локальным максимумом, а f(1) = −2 локальным минимумом.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Теорема Вейерштрасса гарантирует, что непрерывная на отрезке [a, b] функция достигает на нём наибольшего и наименьшего значений. Они достигаются либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах. Отсюда короткий алгоритм: найди критические точки в (a, b), вычисли f в них и в a и b, затем выбери наибольшее и наименьшее значения. Для x³ − 3x на [0, 3]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Наименьшее значение равно −2, наибольшее равно 18 и достигается на конце, где f′ вовсе не равна нулю.

Задача на оптимизацию

Вот придуманный пример в стиле раздела 4.7 OpenStax. Есть 40 метров ограды для прямоугольного загона. Если одна сторона x, другая 20 − x, то площадь A(x) = x(20 − x) = 20x − x² при 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x равна нулю при x = 10. На концах A(0) = A(20) = 0, а A(10) = 100. Значит, лучший загон является квадратом 10 на 10 площадью 100 квадратных метров. Шаги всегда одинаковы: вырази искомую величину функцией одной переменной, найди её промежуток и примени алгоритм для отрезка.