Maximums et minimums
Parmi tous les rectangles de périmètre 40, celui de plus grande aire est le carré de 10 sur 10. Avec la dérivée, tu le trouves en cherchant une pente nulle.
Sommets, creux et points critiques
Une fonction admet un maximum local en c si f(c) est au moins aussi grande que toutes les valeurs voisines, et un minimum local si elle est au moins aussi petite. Ce sont les sommets et les creux de la courbe. Le théorème de Fermat, tel qu'OpenStax le présente, dit : si f admet un extremum local en c et est dérivable en c, alors f′(c) = 0. La courbe en donne la raison : en un sommet lisse, la tangente est horizontale. Les candidats aux extremums locaux sont donc les points critiques, les valeurs c où f′(c) = 0 ou f′(c) n'existe pas.
Un point critique n'est qu'un candidat. Pour f(x) = x³, f′(0) = 0, mais la courbe monte des deux côtés de 0 : elle n'y présente ni sommet ni creux. Pour trancher, étudie le signe de la dérivée première : si f′ passe du positif au négatif en c, f y admet un maximum local ; du négatif au positif, un minimum local ; sans changement de signe, ni l'un ni l'autre. Pour f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 0 donne x = −1 et x = 1. La dérivée prend successivement les signes +, −, + ; f(−1) = 2 est donc un maximum local et f(1) = −2 un minimum local.
La plus grande et la plus petite valeur sur un intervalle fermé
Le théorème des bornes atteintes garantit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] y admet un maximum absolu et un minimum absolu. Ils sont atteints soit en des points critiques intérieurs, soit aux extrémités. D'où une méthode courte : trouve les points critiques dans (a, b), calcule f en chacun d'eux ainsi qu'en a et en b, puis retiens les valeurs extrêmes. Pour x³ − 3x sur [0, 3] : f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Le minimum absolu est −2 et le maximum absolu est 18, atteint à une extrémité où f′ n'est pourtant pas nulle.
Un problème d'optimisation
Voici un exemple inventé dans l'esprit de la section 4.7 d'OpenStax. Tu disposes de 40 mètres de clôture pour un enclos rectangulaire. Si un côté mesure x, l'autre mesure 20 − x, donc l'aire vaut A(x) = x(20 − x) = 20x − x² pour 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x s'annule en x = 10. Aux extrémités, A(0) = A(20) = 0, et A(10) = 100. Le meilleur enclos est donc un carré de 10 sur 10, d'aire 100 mètres carrés. Les étapes sont toujours les mêmes : exprimer la grandeur comme fonction d'une seule variable, déterminer son intervalle, puis comparer les valeurs aux points critiques et aux extrémités.
Fais glisser pour tourner. Fais défiler ou écarte et rapproche deux doigts pour zoomer.
- Quels sont les points critiques de f(x) = x³ − 3x ?
- x = −1 et x = 1
- x = 0 seulement
- x = 3
- x = ±3
- Quelle est la valeur du maximum local de x³ − 3x ?
- Quelle est la valeur du minimum local de x³ − 3x ?
- Quel est le maximum absolu de x³ − 3x sur [0, 3] ?
- f(x) = x² − 6x + 5. Quelle est sa valeur minimale ?
- Même fonction f sur [0, 4] : quel est le maximum absolu ?
- Un rectangle a un périmètre de 40. Quelle est son aire maximale ?
- Avec un périmètre de 60, quelle est l'aire maximale ?
- f(x) = x³ vérifie f′(0) = 0. En x = 0, f admet :
- ni maximum ni minimum
- un maximum local
- un minimum local
- un maximum absolu
- f′ passe du négatif au positif en c. Alors f(c) est :
- un minimum local
- un maximum local
- ni l'un ni l'autre
- non définie
- Où les extremums absolus d'une fonction f continue sur [a, b] peuvent-ils être atteints ?
- Aux points critiques ou aux extrémités
- Seulement là où f′ = 0
- Seulement aux extrémités
- Seulement en x = 0
- Point critique : f′(c) = 0 ou f′(c) n'existe pas.
- Fermat : en un extremum local où f est dérivable, f′ = 0 ; la réciproque est fausse (x³).
- Signe de la dérivée première : de + à −, maximum ; de − à +, minimum.
- Sur un intervalle fermé : compare f aux points critiques et aux extrémités.
Sources de ce cours (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Consulté le: 2026-10-17