Maxima und Minima

Unter allen Rechtecken mit Umfang 40 hat das Quadrat mit Seitenlängen 10 und 10 die größte Fläche. Mit der Ableitung findest du es, indem du nach der Steigung null suchst.

Hochpunkte, Tiefpunkte und kritische Stellen

Eine Funktion hat bei c ein lokales Maximum, wenn f(c) mindestens so groß wie alle benachbarten Werte ist, und ein lokales Minimum, wenn f(c) höchstens so groß ist. Das sind die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Der Satz von Fermat lautet nach OpenStax: Hat f bei c ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, dann gilt f′(c) = 0. Der Grund ist im Bild sichtbar: An einem glatten Hochpunkt ist die Tangente waagerecht. Als lokale Extremstellen kommen daher kritische Stellen infrage: Werte c, an denen f′(c) = 0 ist oder f′(c) nicht existiert.

Eine kritische Stelle ist nur ein Kandidat. Für f(x) = x³ gilt f′(0) = 0, aber der Graph steigt auf beiden Seiten von 0 und besitzt dort keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung: Wechselt f′ bei c von positiv zu negativ, hat f dort ein lokales Maximum; von negativ zu positiv ein lokales Minimum. Ohne Vorzeichenwechsel liegt keines von beiden vor. Für f(x) = x³ − 3x liefert f′(x) = 3x² − 3 = 0 die Stellen x = −1 und x = 1. Die Vorzeichenfolge ist +, −, +. Somit ist f(−1) = 2 ein lokales Maximum und f(1) = −2 ein lokales Minimum.

Größter und kleinster Wert auf einem abgeschlossenen Intervall

Der Extremwertsatz garantiert, dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum besitzt. Diese liegen entweder an inneren kritischen Stellen oder an den Intervallgrenzen. Daraus ergibt sich ein kurzes Verfahren: Bestimme die kritischen Stellen in (a, b), berechne dort sowie bei a und b die Funktionswerte und wähle den größten und kleinsten aus. Für x³ − 3x auf [0, 3] gilt f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Das absolute Minimum beträgt −2 und das absolute Maximum 18, und zwar am Rand, wo f′ keineswegs null ist.

Eine Optimierungsaufgabe

Hier ist ein erfundenes Beispiel nach dem Vorbild von OpenStax, Abschnitt 4.7. Für ein rechteckiges Gehege hast du 40 Meter Zaun. Ist eine Seite x lang, beträgt die andere 20 − x. Die Fläche lautet also A(x) = x(20 − x) = 20x − x² für 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x wird bei x = 10 null. An den Grenzen gilt A(0) = A(20) = 0, außerdem A(10) = 100. Optimal ist also ein Quadrat mit Seitenlängen 10 und 10 und einer Fläche von 100 Quadratmetern. Die Schritte sind immer gleich: Stelle die gesuchte Größe als Funktion einer Variablen dar, bestimme ihr Intervall und vergleiche die Werte an kritischen Stellen und Grenzen.