Máximos y mínimos

De todos los rectángulos de perímetro 40, el de mayor área es el cuadrado de 10 por 10. Con la derivada lo encuentras buscando una pendiente nula.

Máximos, mínimos y puntos críticos

Una función tiene un máximo local en c si f(c) es al menos tan grande como todos los valores cercanos, y un mínimo local si es al menos tan pequeño. Son los picos y valles de la gráfica. El teorema de Fermat, tal como lo presenta OpenStax, dice: si f tiene un extremo local en c y es derivable en c, entonces f′(c) = 0. La razón se ve en el dibujo: en un máximo suave, la tangente es horizontal. Así, los candidatos a extremos locales son los puntos críticos, los valores c donde f′(c) = 0 o f′(c) no existe.

Un punto crítico es solo un candidato. f(x) = x³ tiene f′(0) = 0, pero la gráfica crece a ambos lados de 0 y no tiene ahí máximo ni mínimo. Para decidir, usa el criterio de la primera derivada: si f′ pasa de positiva a negativa en c, f tiene un máximo local ahí; si pasa de negativa a positiva, un mínimo local; si no cambia de signo, ninguno. Para f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 0 da x = −1 y x = 1. La derivada sigue los signos +, −, +, así que f(−1) = 2 es un máximo local y f(1) = −2 es un mínimo local.

Mayor y menor valor en un intervalo cerrado

El teorema del valor extremo garantiza que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene ahí un máximo absoluto y un mínimo absoluto. Aparecen en puntos críticos interiores o en los extremos del intervalo. Esto da un procedimiento breve, el método del intervalo cerrado: encuentra los puntos críticos en (a, b), evalúa f en cada uno y en a y b, y elige los valores mayor y menor. Para x³ − 3x en [0, 3]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. El mínimo absoluto es −2 y el máximo absoluto es 18, en un extremo donde f′ ni siquiera vale cero.

Un problema de optimización

Este es un ejemplo inventado al estilo de la sección 4.7 de OpenStax. Tienes 40 metros de cerca para un corral rectangular. Si un lado mide x, el otro mide 20 − x, así que el área es A(x) = x(20 − x) = 20x − x² para 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x vale cero en x = 10. Los extremos dan A(0) = A(20) = 0, y A(10) = 100. Por tanto, el mejor corral es un cuadrado de 10 por 10 con 100 metros cuadrados. Los pasos son siempre los mismos: escribe la cantidad como función de una variable, encuentra su intervalo y aplica el método del intervalo cerrado.