Massimi e minimi
Fra tutti i rettangoli con perimetro 40, quello con l'area maggiore è il quadrato 10 per 10. Con la derivata lo si trova cercando il punto in cui la pendenza è nulla.
Massimi, minimi e punti critici
Una funzione ha un massimo locale in c se f(c) è maggiore o uguale a ogni valore vicino, e un minimo locale se è minore o uguale. Sono le cime e gli avvallamenti del grafico. Il teorema di Fermat, nell'enunciato di OpenStax, dice: se f ha un estremo locale in c ed è derivabile in c, allora f′(c) = 0. Il motivo si vede nel disegno: in un massimo senza spigoli la tangente è orizzontale. I candidati a estremi locali sono quindi i punti critici, i valori c in cui f′(c) = 0 oppure f′(c) non esiste.
Un punto critico è soltanto un candidato. f(x) = x³ ha f′(0) = 0, ma il grafico cresce da entrambi i lati di 0 e lì non ha né un massimo né un minimo. Per decidere, usa lo studio del segno della derivata prima: se f′ passa da positiva a negativa in c, f ha lì un massimo locale; da negativa a positiva, un minimo locale; se il segno non cambia, nessuno dei due. Per f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 0 dà x = −1 e x = 1. La derivata assume i segni +, −, + attraversando quei punti, quindi f(−1) = 2 è un massimo locale e f(1) = −2 è un minimo locale.
Massimo e minimo in un intervallo chiuso
Il teorema di Weierstrass garantisce che una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] vi ammette un massimo assoluto e un minimo assoluto. Questi si trovano nei punti critici interni oppure negli estremi dell'intervallo. Ne ricaviamo un procedimento breve: trova i punti critici in (a, b), calcola f in ciascuno di essi e in a e b, poi scegli il valore maggiore e quello minore. Per x³ − 3x su [0, 3]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Il minimo assoluto è −2 e il massimo assoluto è 18, in un estremo dove f′ non è affatto zero.
Un problema di ottimizzazione
Ecco un esempio inventato sul modello della sezione 4.7 di OpenStax. Hai 40 metri di rete per un recinto rettangolare. Se un lato è x, l'altro è 20 − x, quindi l'area è A(x) = x(20 − x) = 20x − x² per 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x si annulla in x = 10. Agli estremi A(0) = A(20) = 0, mentre A(10) = 100. Il recinto migliore è dunque un quadrato 10 per 10 di 100 metri quadrati. I passaggi sono sempre gli stessi: esprimi la grandezza come funzione di una variabile, trova il suo intervallo e confronta i valori nei punti critici e agli estremi.
Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.
- Punti critici di f(x) = x³ − 3x?
- x = −1 e x = 1
- soltanto x = 0
- x = 3
- x = ±3
- Valore del massimo locale di x³ − 3x?
- Valore del minimo locale di x³ − 3x?
- Massimo assoluto di x³ − 3x su [0, 3]?
- f(x) = x² − 6x + 5. Valore minimo?
- Stessa f su [0, 4]: massimo assoluto?
- Un rettangolo ha perimetro 40. Qual è l'area massima possibile?
- Con perimetro 60, invece, qual è l'area massima?
- f(x) = x³ ha f′(0) = 0. In x = 0, f ha:
- né un massimo né un minimo
- un massimo locale
- un minimo locale
- un massimo assoluto
- f′ passa da negativa a positiva in c. Allora f(c) è:
- un minimo locale
- un massimo locale
- nessuno dei due
- non definito
- Dove possono trovarsi gli estremi assoluti di una f continua su [a, b]?
- Nei punti critici oppure agli estremi dell'intervallo
- Solo dove f′ = 0
- Solo agli estremi dell'intervallo
- Solo in x = 0
- Punto critico: f′(c) = 0 oppure f′(c) non esiste.
- Fermat: in un estremo locale in cui f è derivabile, f′ = 0; il contrario è falso (x³).
- Segno della derivata prima: da + a − indica un massimo, da − a + un minimo.
- Metodo per gli intervalli chiusi: confronta f nei punti critici e agli estremi dell'intervallo.
Fonti di questo corso (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Consultato il: 2026-10-17