Le derivate come tassi di variazione

Un sasso lasciato cadere da 64 piedi ha altezza −16t² + 64. Derivando una volta ottieni la velocità, −32t; raggiunge il suolo in t = 2 a 64 piedi al secondo.

Posizione, velocità e accelerazione

Se s(t) è la posizione al tempo t di un oggetto che si muove lungo una retta, la sua velocità è v(t) = s′(t), il tasso istantaneo di variazione della posizione. La velocità ha un segno: positivo se l'oggetto si muove nel verso positivo, negativo se si muove nel verso opposto. Il modulo della velocità è |v(t)| e non tiene conto del verso. L'accelerazione è a(t) = v′(t) = s″(t), il tasso di variazione della velocità. OpenStax riunisce queste relazioni nella sezione 3.4 e le usa per oggetti in caduta e lanciati.

Riprendi il sasso del corso sui limiti, s(t) = −16t² + 64 piedi. La velocità è v(t) = −32t piedi al secondo. In t = 0.5 vale −16, il numero verso cui tendevano le pendenze delle secanti. Il sasso raggiunge il suolo quando s(t) = 0: 16t² = 64, t = 2 secondi. La velocità in quell'istante è v(2) = −64 piedi al secondo, quindi il suo modulo è 64 piedi al secondo. L'accelerazione è a(t) = −32 piedi al secondo quadrato in ogni istante, l'effetto costante della gravità in queste unità. Tutti i segni negativi significano la stessa cosa: verso il basso.

Un lancio verso l'alto

Un esercizio di OpenStax lancia un sasso dal suolo verso l'alto a 15 metri al secondo, con altezza h(t) = 15t − 4.9t² metri. La velocità è v(t) = 15 − 9.8t. In t = 1 il sasso sta ancora salendo a 5.2 metri al secondo. Smette di salire quando v(t) = 0, in t = 15/9.8 ≈ 1.53 secondi, e in quell'istante raggiunge il punto più alto: h ≈ 11.48 metri. Poi v diventa negativa e il sasso scende. L'accelerazione è sempre −9.8 metri al secondo quadrato, il valore di g usato nell'esercizio.

Osserva il metodo dell'ultimo calcolo: il punto più alto della traiettoria si trova dove la velocità, una derivata, è zero. È un primo assaggio dell'unità 6. Nota anche che i tassi medi e quelli istantanei rispondono a domande diverse. La velocità media del sasso durante tutta la caduta è (0 − 64)/2 = −32 piedi al secondo, mentre la velocità istantanea va da 0 all'inizio a −64 alla fine.

Non solo movimento

Ogni grandezza che varia al variare di un'altra ha una derivata con un significato preciso. Se P(t) è una popolazione, P′(t) è il tasso di crescita in individui all'anno. Se C(x) è il costo di produzione di x pezzi, C′(x), il costo marginale, approssima il costo di produrre un pezzo in più. Se V è il volume d'acqua in un serbatoio, dV/dt è la portata. In ogni caso le unità della derivata indicano come interpretarla, proprio come i piedi al secondo per il sasso.