Производные как скорости изменения

Камень, отпущенный с высоты 64 фута, имеет высоту −16t² + 64. После одного дифференцирования получаем скорость −32t; он достигает земли при t = 2 со скоростью по модулю 64 фута в секунду.

Координата, скорость, ускорение

Если s(t) задаёт координату тела, движущегося вдоль прямой в момент t, его скорость v(t) = s′(t) является мгновенной скоростью изменения координаты. Скорость имеет знак: положительный при движении в положительном направлении и отрицательный при движении в обратную сторону. Модуль скорости |v(t)| не учитывает направление. Ускорение a(t) = v′(t) = s″(t) показывает, как меняется скорость. OpenStax собирает эти определения в разделе 3.4 и применяет их к падающим и брошенным телам.

Возьмём камень из курса пределов: s(t) = −16t² + 64 фута. Его скорость v(t) = −32t футов в секунду. При t = 0.5 она равна −16, к этому числу стремились угловые коэффициенты секущих. Камень достигает земли при s(t) = 0: 16t² = 64, t = 2 секунды. Тогда v(2) = −64 фута в секунду, а модуль скорости равен 64 фута в секунду. Ускорение a(t) = −32 фута в секунду в квадрате в каждый момент: в этих единицах так выражается постоянное действие силы тяжести. Все минусы означают одно: направление вниз.

Бросок вверх

В задаче OpenStax камень бросают с земли вверх со скоростью 15 метров в секунду, его высота h(t) = 15t − 4.9t² метров. Скорость v(t) = 15 − 9.8t. При t = 1 камень ещё поднимается со скоростью 5.2 метра в секунду. Подъём заканчивается при v(t) = 0, то есть t = 15/9.8 ≈ 1.53 секунды. Это высшая точка: h ≈ 11.48 метра. Затем v становится отрицательной, и камень падает. Ускорение всё время равно −9.8 метра в секунду в квадрате, значению g в этой задаче.

Обрати внимание на способ вычисления: в верхней точке полёта скорость, то есть производная, равна нулю. Это первое знакомство с идеей урока 6. Средняя и мгновенная скорости отвечают на разные вопросы. Средняя скорость камня за всё падение равна (0 − 64)/2 = −32 фута в секунду, а мгновенная меняется от 0 в начале до −64 в конце.

Не только движение

У любой величины, зависящей от другой, производная имеет содержательный смысл. Если P(t) обозначает численность населения, P′(t) задаёт скорость её роста в людях за год. Если C(x) задаёт затраты на выпуск x изделий, C′(x), предельные затраты, приблизительно показывает стоимость ещё одного изделия. Если V является объёмом воды в баке, dV/dt задаёт объёмный расход. В каждом случае единицы производной подсказывают её смысл, как футы в секунду для камня.