Les dérivées comme taux de variation

Une pierre lâchée de 64 pieds de haut se trouve à la hauteur −16t² + 64. En dérivant une fois, tu obtiens sa vitesse, −32t ; elle touche le sol à t = 2, à une vitesse de 64 pieds par seconde.

Position, vitesse et accélération

Si s(t) donne la position d'un objet se déplaçant sur une droite à l'instant t, sa vitesse algébrique est v(t) = s′(t), le taux de variation instantané de sa position. Elle a un signe : positif quand l'objet se déplace dans le sens positif, négatif dans le sens opposé. La valeur de la vitesse est |v(t)|, sans indication de sens. L'accélération est a(t) = v′(t) = s″(t), le taux de variation de la vitesse algébrique. OpenStax rassemble ces notions dans la section 3.4 et les applique aux objets lâchés ou lancés.

Reprenons la pierre du cours sur les limites, s(t) = −16t² + 64 pieds. Sa vitesse algébrique est v(t) = −32t pieds par seconde. À t = 0.5, elle vaut −16, la valeur vers laquelle tendaient les pentes des sécantes. La pierre atteint le sol lorsque s(t) = 0 : 16t² = 64, soit t = 2 secondes. Sa vitesse algébrique vaut alors v(2) = −64 pieds par seconde ; sa valeur absolue est donc 64 pieds par seconde. L'accélération est a(t) = −32 pieds par seconde carrée à tout instant, l'accélération constante due à la pesanteur dans ces unités. Tous ces signes négatifs indiquent le même sens : vers le bas.

Un lancer vers le haut

Un exercice d'OpenStax lance une pierre depuis le sol à 15 mètres par seconde, avec pour hauteur h(t) = 15t − 4.9t² mètres. Sa vitesse algébrique est v(t) = 15 − 9.8t. À t = 1, la pierre monte encore à 5.2 mètres par seconde. Elle cesse de monter lorsque v(t) = 0, à t = 15/9.8 ≈ 1.53 seconde ; c'est son point le plus haut : h ≈ 11.48 mètres. Ensuite, v devient négative et la pierre tombe. L'accélération reste égale à −9.8 mètres par seconde carrée, la valeur de g utilisée dans cet exercice.

Remarque la méthode du dernier calcul : le sommet de la trajectoire correspond au moment où la vitesse algébrique, une dérivée, vaut zéro. C'est un premier aperçu de l'unité 6. Remarque aussi que les taux moyen et instantané ne répondent pas à la même question. La vitesse algébrique moyenne de la pierre sur toute sa chute est (0 − 64)/2 = −32 pieds par seconde, tandis que sa vitesse instantanée passe de 0 au départ à −64 à la fin.

Au-delà du mouvement

Toute grandeur qui varie avec une autre possède une dérivée qui a un sens. Si P(t) est une population, P′(t) est son taux de croissance en individus par an. Si C(x) est le coût de fabrication de x articles, C′(x), le coût marginal, estime le coût de production d'un article supplémentaire. Si V est le volume d'eau dans un réservoir, dV/dt est le débit. Dans chaque cas, les unités de la dérivée indiquent comment l'interpréter, comme les pieds par seconde pour la pierre.