Derivate
Sei unità sulla derivata, la pendenza di una curva in un singolo punto. La definirai come limite delle pendenze delle secanti, la leggerai come una nuova funzione con un proprio grafico, imparerai le regole per calcolarla rapidamente e la userai per velocità e accelerazione. Infine troverai i punti più alti e più bassi di un grafico. Nel laboratorio di analisi puoi avvicinare una secante alla tangente e trascinare una tangente lungo una curva, osservando come cambia la pendenza.
Prima di iniziare
La derivata è definita come limite delle pendenze delle secanti, quindi comincia da Limiti. Aiutano, per tutto il corso, la familiarità con gli esponenti, lo sviluppo delle parentesi e la pendenza di una retta; l'unità sulle regole del prodotto, del quoziente e della funzione composta si derivano anche seno e coseno, quindi conoscere un po' queste funzioni è utile.
Alla fine
Alla fine saprai trovare la derivata di x² dal rapporto incrementale, leggere f′(x) = 2x come la pendenza per ogni x e derivare x¹⁰ con la regola della potenza. Userai le regole del prodotto, del quoziente e della funzione composta, trasformerai la formula di un'altezza in velocità e accelerazione per un sasso lasciato cadere e mostrerai che il quadrato 10 per 10 ha l'area maggiore a parità di perimetro 40.
- 1Definire la derivataPer f(x) = x², la pendenza della secante da x = 1 a x = 1 + h è esattamente 2 + h. Quando h tende a zero, resta soltanto 2.
- 2La derivata come funzioneLa pendenza di y = x² è −6 in x = −3, 0 nel punto più basso e 6 in x = 3. Una sola formula, f′(x) = 2x, le dà tutte.
- 3La derivata delle potenze e le regole di baseLa derivata di x¹⁰ è 10x⁹. Porta l'esponente davanti e diminuiscilo di uno: non serve calcolare un limite.
- 4Regole del prodotto, del quoziente e della funzione compostaSviluppare (3x + 1)⁴ porta a un polinomio di cinque termini. La regola della funzione composta dà la derivata, 12(3x + 1)³, in una sola riga.
- 5Le derivate come tassi di variazioneUn sasso lasciato cadere da 64 piedi ha altezza −16t² + 64. Derivando una volta ottieni la velocità, −32t; raggiunge il suolo in t = 2 a 64 piedi al secondo.
- 6Massimi e minimiFra tutti i rettangoli con perimetro 40, quello con l'area maggiore è il quadrato 10 per 10. Con la derivata lo si trova cercando il punto in cui la pendenza è nulla.
Fonti di questo corso (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Consultato il: 2026-10-17