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最大値と最小値

周の長さが40の長方形では、10×10の正方形の面積が最大です。導関数が0になる点を探すと求められます。

山・谷・臨界点

c の近くのどの値と比べても f(c) が同じかそれ以上なら、f は c で極大となります。同じかそれ以下なら極小です。グラフの山と谷に当たります。OpenStaxに記されたフェルマーの定理は、f が c で極値を取り、c で微分可能なら f′(c) = 0 というものです。滑らかな山では接線が水平になると考えれば納得できます。したがって極値の候補は、f′(c) = 0 となるか f′(c) が存在しない c、すなわち臨界点です。

臨界点はあくまで候補です。f(x) = x³ は f′(0) = 0 ですが、0の両側で増加し、山も谷もありません。判定には第1次導関数の符号を使います。c で f′ が正から負に変われば極大、負から正なら極小、符号が変わらなければどちらでもありません。f(x) = x³ − 3x では f′(x) = 3x² − 3 = 0 より x = −1 と x = 1 です。符号は +、−、+ と変わるので、f(−1) = 2 は極大値、f(1) = −2 は極小値です。

f(x) = x³ − 3x は臨界点 x = ±1 で水平な接線を持ちます。[0, 3] での最小値は x = 1 で −2、最大値は端点 x = 3 で18です。

閉区間での最大値と最小値

最大値・最小値の定理により、閉区間 [a, b] 上の連続関数には必ず最大値と最小値があります。それらを取る点は区間内部の臨界点か端点です。そこで、(a, b) 内の臨界点を求め、各点と a、b での f の値を計算し、大小を比べます。x³ − 3x の [0, 3] では f(0) = 0、f(1) = −2、f(3) = 18 です。最小値は −2、最大値は18で、その端点では f′ は0ではありません。

最適化の問題

OpenStaxの4.7節にならった架空の例です。長さ40メートルの柵で長方形の囲いを作ります。1辺が x なら他方は 20 − x なので、面積は A(x) = x(20 − x) = 20x − x²、範囲は 0 ≤ x ≤ 20 です。A′(x) = 20 − 2x は x = 10 で0になります。端点では A(0) = A(20) = 0、また A(10) = 100 です。よって最適な囲いは10×10の正方形で、面積は100平方メートルです。求める量を1変数の関数で表し、その区間を定めて、臨界点と端点で比較するのが基本です。

角のある点も候補です。|x| は微分できない0で最小になります。このため臨界点には、導関数が0になる点だけでなく、存在しない点も含めます。
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f(x) = x³ − 3x の臨界点を示しています。山や谷を通るように点をドラッグすると、どちらでも傾きが0を通過します。
  1. f(x) = x³ − 3x の臨界点はどれですか？
    • x = −1 と x = 1
    • x = 0 だけです
    • x = 3
    • x = ±3
  2. x³ − 3x の極大値はいくつですか？
  3. x³ − 3x の極小値はいくつですか？
  4. [0, 3] での x³ − 3x の最大値はいくつですか？
  5. f(x) = x² − 6x + 5 の最小値はいくつですか？
  6. 同じ f の [0, 4] での最大値はいくつですか？
  7. 周の長さが40の長方形の面積は、最大いくつですか？
  8. 周の長さが60なら、面積は最大いくつですか？
  9. f(x) = x³ は f′(0) = 0 です。x = 0 で f はどうなりますか？
    • 極大でも極小でもありません
    • 極大になります
    • 極小になります
    • 最大になります
  10. c で f′ が負から正に変わるとき、f(c) は何ですか？
    • 極小値
    • 極大値
    • どちらでもありません
    • 定義されません
  11. [a, b] 上の連続関数 f が最大値や最小値を取るのは、どこですか？
    • 臨界点または端点
    • f′ = 0 の点だけです
    • 端点だけです
    • x = 0 だけです
ポイント
  • 臨界点：f′(c) = 0 となるか、f′(c) が存在しない点です。
  • フェルマーの定理：微分可能な点で極値を取れば f′ = 0 です。逆は成り立ちません（x³）。
  • 第1次導関数の符号による判定：+ から − なら極大、− から + なら極小です。
  • 閉区間では、臨界点と端点での f の値を比較します。
このコースの出典 (10)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
  • 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
  • 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
  • 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
  • 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
  • 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
  • chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
  • 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
  • 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17