Máximos e mínimos
Entre todos os retângulos de perímetro 40, o de maior área é o quadrado de 10 por 10. Com a derivada, você o encontra procurando uma inclinação nula.
Picos, vales e pontos críticos
Uma função tem máximo local em c se f(c) é pelo menos tão grande quanto todos os valores próximos, e mínimo local se é pelo menos tão pequeno. São os picos e vales do gráfico. O teorema de Fermat, conforme apresentado no OpenStax, afirma: se f tem um extremo local em c e é derivável em c, então f′(c) = 0. O desenho explica: em um pico suave, a tangente é horizontal. Assim, os candidatos a extremos locais são os pontos críticos, os valores c em que f′(c) = 0 ou f′(c) não existe.
Um ponto crítico é apenas um candidato. f(x) = x³ tem f′(0) = 0, mas o gráfico cresce dos dois lados de 0, sem pico nem vale. Para decidir, use o teste da primeira derivada: se f′ passa de positiva a negativa em c, f tem máximo local ali; de negativa a positiva, mínimo local; sem mudança de sinal, nenhum dos dois. Para f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 0 fornece x = −1 e x = 1. A derivada segue os sinais +, −, +, então f(−1) = 2 é máximo local e f(1) = −2 é mínimo local.
Maior e menor valor em um intervalo fechado
O teorema do valor extremo garante que uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] tem máximo absoluto e mínimo absoluto nele. Eles ocorrem em pontos críticos internos ou nas extremidades. Isso fornece um procedimento curto, o método do intervalo fechado: encontre os pontos críticos em (a, b), calcule f em cada um deles e em a e b, e escolha o maior e o menor valor. Para x³ − 3x em [0, 3]: f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. O mínimo absoluto é −2 e o máximo absoluto é 18, em uma extremidade onde f′ nem sequer vale zero.
Um problema de otimização
Veja um exemplo fictício no estilo da seção 4.7 do OpenStax. Você tem 40 metros de cerca para um cercado retangular. Se um lado mede x, o outro mede 20 − x, então a área é A(x) = x(20 − x) = 20x − x² para 0 ≤ x ≤ 20. A′(x) = 20 − 2x vale zero em x = 10. Nas extremidades, A(0) = A(20) = 0, e A(10) = 100. Logo, o melhor cercado é um quadrado de 10 por 10, com 100 metros quadrados. Os passos são sempre os mesmos: escreva a grandeza como função de uma variável, determine o intervalo e aplique o método do intervalo fechado.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
- Pontos críticos de f(x) = x³ − 3x?
- x = −1 e x = 1
- apenas x = 0
- x = 3
- x = ±3
- Valor do máximo local de x³ − 3x?
- Valor do mínimo local de x³ − 3x?
- Máximo absoluto de x³ − 3x em [0, 3]?
- f(x) = x² − 6x + 5. Qual é o valor mínimo?
- Mesma f em [0, 4]: qual é o máximo absoluto?
- Um retângulo tem perímetro 40. Qual é a maior área possível?
- E se o perímetro for 60? Qual é a maior área?
- f(x) = x³ tem f′(0) = 0. Em x = 0, f tem:
- nem máximo nem mínimo
- um máximo local
- um mínimo local
- um máximo absoluto
- f′ passa de negativa a positiva em c. Então f(c) é:
- um mínimo local
- um máximo local
- nenhum dos dois
- não definido
- Onde podem ocorrer os extremos absolutos de uma f contínua em [a, b]?
- Nos pontos críticos ou nas extremidades
- Somente onde f′ = 0
- Somente nas extremidades
- Somente em x = 0
- Ponto crítico: f′(c) = 0 ou f′(c) não existe.
- Fermat: um extremo local onde f é derivável tem f′ = 0; a recíproca falha (x³).
- Teste da primeira derivada: de + para − indica máximo; de − para + indica mínimo.
- Método do intervalo fechado: compare f nos pontos críticos e nas extremidades.
Fontes deste curso (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Data de verificação: 2026-10-17