거듭제곱 법칙과 기본 규칙

x¹⁰의 도함수는 10x⁹입니다. 지수를 앞으로 내리고 하나 줄이면 끝이고, 극한을 계산할 필요가 없습니다.

극한 속의 규칙

모든 도함수를 하나하나 극한의 정의로 계산하면 시간이 많이 걸립니다. 다행히 답에는 눈에 띄는 규칙이 있습니다. 여러분은 이미 x의 도함수가 1이고 x²의 도함수가 2x라는 것을 보았고, x³의 도함수가 3x²라는 것도 앞부분까지 보았습니다. 거듭제곱 법칙은 어떤 양의 정수 n에 대해서도 xⁿ의 도함수가 n xⁿ⁻¹이라고 말합니다. OpenStax 교재는 이항정리로 (x + h)ⁿ을 전개해서 이 법칙을 증명합니다. 첫 항 xⁿ은 약분되어 사라지고, 다음 항은 n xⁿ⁻¹ h이며, 나머지 항은 모두 h로 나눈 뒤에도 여전히 h가 남아 있으므로 극한에서 사라집니다.

이 법칙은 지수가 양의 정수가 아닐 때에도 통합니다. 음의 지수에서는 1/x = x⁻¹의 도함수가 −1·x⁻² = −1/x²로, 앞에서 x = 1에서 1/x에 대해 직접 계산한 극한과 맞습니다. 분수 지수에서는 √x = x^1/2의 도함수가 (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x)입니다. 그래서 x = 4에서 √x의 기울기는 1/4입니다. 미분하기 전에 거듭제곱근과 역수를 먼저 거듭제곱 꼴로 고쳐 쓰는 습관을 들이면, 이 법칙을 훨씬 많은 곳에 쓸 수 있습니다.

상수, 상수배, 합

여기에 세 가지 규칙이 더 있는데, 모두 극한 법칙에서 바로 나옵니다. 첫째로, 상수의 도함수는 0입니다. 상수함수의 그래프는 가로선이고, 가로선의 기울기는 0이기 때문입니다. 둘째로, 곱해진 상수는 그대로 밖으로 나옵니다. c·f의 도함수는 c·f′입니다. 셋째로, 합과 차는 한 항씩 따로 미분합니다. f ± g의 도함수는 f′ ± g′입니다. 이 규칙들을 거듭제곱 법칙과 함께 쓰면 모든 다항식을 미분할 수 있습니다. 예를 들어 p(x) = 5x³ − 2x + 7의 도함수는 15x² − 2입니다. 상수 7이 사라지는 이유는 그래프를 위아래로 옮겨도 어느 점의 기울기도 바뀌지 않기 때문입니다.

이 규칙들이 있으면 접선 하나쯤은 금세 구할 수 있습니다. 예를 들어 x = 2에서 y = x³이면 점은 (2, 8), 기울기는 3(2)² = 12이고, 따라서 접선의 식은 y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16입니다. 또 y = x² − 6x + 1에서는 기울기 2x − 6이 x = 3에서 0이 됩니다. 그러므로 포물선은 그 자리에서 접선이 가로로 눕고, 그 점이 포물선의 가장 낮은 점 (3, −8)입니다. 이처럼 도함수가 0인 곳을 찾는 것이 6단원의 중심 생각입니다.

답 확인하기

규칙은 빠르기 때문에, 가끔은 정의나 숫자로 답을 맞춰 보는 것이 좋습니다. x = 2에서 f(x) = x³이면 거듭제곱 법칙은 f′(2) = 12라고 합니다. h = 0.01이면 차분몫은 (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601, h를 더 줄여 h = 0.001로 하면 약 12.006입니다. 이 값들은 위쪽에서 12로 점점 다가가고, 마땅히 그래야 합니다. 만약 3x² 대신 3x³이라고 잘못 쓰면 24가 나오는데, 이런 실수는 차분몫 하나만 계산해 봐도 바로 잡아낼 수 있습니다. 아래 실험실은 여러분이 끌어다 놓는 모든 점에서 이와 같은 비교를 해 줍니다.

다항식은 도함수가 그래프의 모양에 대해 무엇을 알려 주는지 보기에도 좋은 예입니다. n차 다항식을 미분하면 차수가 하나 줄어 n − 1차가 됩니다. 그러므로 삼차식의 기울기 함수는 근이 많아야 두 개인 이차식이고, 그래서 삼차식의 그래프는 많아야 두 번 방향을 바꿉니다. 한편 이차식의 기울기 함수는 근이 하나뿐인 일차식입니다. 그래서 모든 포물선에는 방향이 바뀌는 점이 꼭 하나 있습니다.