Regra da potência e regras básicas

A derivada de x¹⁰ é 10x⁹. Passe o expoente para a frente e subtraia um dele; não é preciso calcular um limite.

Um padrão nos limites

Calcular toda derivada pela definição de limite seria demorado. Felizmente, as respostas seguem padrões. Você já viu d/dx x = 1, d/dx x² = 2x e o começo de d/dx x³ = 3x². A regra da potência diz que, para qualquer inteiro positivo n, d/dx xⁿ = n xⁿ⁻¹. O OpenStax a demonstra expandindo (x + h)ⁿ pelo binômio de Newton: o primeiro termo xⁿ se cancela, o seguinte é n xⁿ⁻¹ h, e todos os demais ainda contêm h após a divisão por h, desaparecendo no limite.

A regra vai além dos inteiros positivos. Para expoentes negativos, 1/x = x⁻¹ tem derivada −1·x⁻² = −1/x², de acordo com o limite que você calculou para 1/x em x = 1. Para expoentes fracionários, √x = x^1/2 tem derivada (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x). Assim, em x = 4, a inclinação de √x é 1/4. Reescrever raízes e inversos como potências antes de derivar é o hábito que torna essa regra tão útil.

Constantes, múltiplos e somas

Mais três regras vêm diretamente das propriedades dos limites. A derivada de uma constante é 0, pois uma reta horizontal tem inclinação 0. Um fator constante pode ser colocado em evidência: d/dx (c·f) = c·f′. Uma soma ou diferença é derivada termo a termo: d/dx (f ± g) = f′ ± g′. Juntas com a regra da potência, essas regras resolvem qualquer polinômio. Para p(x) = 5x³ − 2x + 7, a derivada é 15x² − 2. A constante 7 desaparece porque deslocar o gráfico para cima ou para baixo não muda nenhuma inclinação.

Com as regras, encontrar uma tangente leva um minuto. Para y = x³ em x = 2: o ponto é (2, 8), a inclinação é 3(2)² = 12, e a tangente é y = 8 + 12(x − 2) = 12x − 16. Para y = x² − 6x + 1, a inclinação 2x − 6 vale zero em x = 3, então a parábola tem tangente horizontal ali, em seu ponto mais baixo (3, −8). Encontrar onde a derivada vale zero é a ideia central da unidade 6.

Conferindo uma resposta

As regras são rápidas, mas vale conferir seus resultados de vez em quando pela definição ou por números. Considere f(x) = x³ em x = 2, onde a regra da potência fornece f′(2) = 12. Com h = 0.01, o quociente de diferenças é (2.01³ − 8)/0.01 = 12.0601; com h = 0.001, é cerca de 12.006. Os números se aproximam de 12 por cima, como esperado. Escrever 3x³ em vez de 3x² daria 24, e um único quociente de diferenças revelaria o erro. O laboratório abaixo faz essa comparação em cada ponto para o qual você arrasta.

Polinômios também ajudam a ver o que a derivada revela sobre a forma. A derivada de um polinômio de grau n tem grau n − 1. Assim, uma cúbica tem função de inclinação quadrática com no máximo dois zeros e pode mudar de crescimento para decrescimento, ou vice-versa, no máximo duas vezes. Uma quadrática tem função de inclinação linear com um zero, por isso toda parábola tem exatamente um ponto de mudança de sentido.