A derivada como função

A inclinação de y = x² é −6 em x = −3, 0 no ponto mais baixo e 6 em x = 3. Uma única fórmula, f′(x) = 2x, fornece todas elas.

Uma inclinação para cada x

Na unidade 1, você encontrou f′(1) = 2 e f′(3) = 6 para f(x) = x², cada uma por seu próprio limite. É mais eficiente manter x como letra. A função derivada é f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h, definida em cada x em que o limite existe. Para x², ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, que tende a 2x. Agora basta substituir: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. A derivada transforma uma função em outra que informa a inclinação da primeira.

Você pode esboçar f′ a partir do gráfico de f sem fórmula alguma. Onde f cresce, as inclinações das tangentes são positivas, então f′ fica acima do eixo x. Onde f decresce, f′ fica abaixo. Em um máximo ou mínimo suave de f, a tangente é horizontal e f′ passa por zero. Para f(x) = x³ − 3x, o gráfico cresce até x = −1, decresce até x = 1 e volta a crescer. Assim, f′ é positiva, depois negativa e depois positiva, com zeros em −1 e 1. A fórmula confirma: f′(x) = 3x² − 3, uma parábola voltada para cima com raízes ±1.

Onde a derivada não existe

Uma função pode ser contínua sem ter derivada. O exemplo clássico é f(x) = |x| em 0. Pela direita, o quociente de diferenças é |h|/h = 1; pela esquerda, é −1. Os limites laterais diferem, então f′(0) não existe. O gráfico explica: há um ponto angular, sem uma única reta tangente ali. O OpenStax resume os casos em que a derivabilidade pode falhar: um ponto angular, uma tangente vertical (como na raiz cúbica de x em 0, onde a inclinação cresce sem limite), um comportamento mais complicado, como o de x sin(1/x) em 0, e uma descontinuidade.

O último caso se liga ao curso de limites. Se f é derivável em a, então f é contínua em a. A recíproca é falsa, e |x| serve de prova: é contínua em 0, mas não derivável. Portanto, a derivabilidade é a condição mais forte. Um gráfico suave, sem pontos angulares, tangentes verticais ou interrupções, é derivável em todo o domínio; polinômios, seno, cosseno e a função exponencial se comportam assim.

Derivadas de derivadas

Como f′ é uma função, ela tem sua própria derivada, a segunda derivada f″. Para x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 e f″(x) = 6x. A segunda derivada mede como a própria inclinação varia. Se f é a posição, f′ é a velocidade e f″ é a aceleração, usadas na unidade 5. Você pode continuar até f‴ e além, embora as duas primeiras sejam as mais frequentes.