La derivada como función

La pendiente de y = x² es −6 en x = −3, 0 en el punto más bajo y 6 en x = 3. Una sola fórmula, f′(x) = 2x, las da todas.

Una pendiente para cada x

En la unidad 1 obtuviste f′(1) = 2 y f′(3) = 6 para f(x) = x², cada una mediante su propio límite. Es más eficiente mantener x como letra. La función derivada es f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x))/h, definida en cada x donde existe el límite. Para x², ((x + h)² − x²)/h = (2xh + h²)/h = 2x + h, que tiende a 2x. Ahora basta sustituir para obtener cualquier pendiente: f′(−3) = −6, f′(0) = 0, f′(10) = 20. La derivada transforma una función en otra que indica la pendiente de la original.

Puedes esbozar f′ a partir de la gráfica de f sin fórmula alguna. Donde f crece, las pendientes de sus tangentes son positivas y f′ queda sobre el eje x. Donde f decrece, f′ queda debajo. En un máximo o mínimo suave de f, la tangente es horizontal y f′ pasa por cero. Para f(x) = x³ − 3x, la gráfica sube hasta x = −1, baja hasta x = 1 y vuelve a subir. Por eso f′ es positiva, luego negativa y luego positiva, con ceros en −1 y 1. La fórmula coincide: f′(x) = 3x² − 3, una parábola abierta hacia arriba con raíces ±1.

Dónde no existe la derivada

Una función puede ser continua y no tener derivada. El ejemplo habitual es f(x) = |x| en 0. Por la derecha, el cociente incremental es |h|/h = 1; por la izquierda es −1. Los límites laterales no coinciden, así que f′(0) no existe. La gráfica explica por qué: tiene un punto anguloso y no hay una única recta tangente ahí. OpenStax resume las formas en que puede fallar la derivabilidad en un punto: un punto anguloso, una tangente vertical (como la raíz cúbica de x en 0, donde la pendiente crece sin cota), un comportamiento más complicado como el de x sin(1/x) en 0 y una discontinuidad.

El último caso conecta con el curso de límites. Si f es derivable en a, entonces es continua en a. La afirmación inversa es falsa y |x| lo demuestra: es continua en 0, pero no derivable. Por tanto, la derivabilidad es una condición más exigente. Una gráfica suave sin puntos angulosos, tangentes verticales ni interrupciones es derivable en todo su dominio; así se comportan los polinomios, el seno, el coseno y la función exponencial.

Derivadas de derivadas

Como f′ es una función, tiene su propia derivada, la segunda derivada f″. Para x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 y f″(x) = 6x. La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente. Si f es la posición, f′ es la velocidad y f″ la aceleración, como verás en la unidad 5. Puedes seguir hasta f‴ y más allá, aunque las dos primeras son las más habituales.