Définir la dérivée

Pour f(x) = x², la pente de la sécante entre x = 1 et x = 1 + h vaut exactement 2 + h. Lorsque h tend vers zéro, il ne reste que 2.

Le taux d'accroissement

Dans le cours sur les limites, tu as trouvé des pentes de tangentes en traçant des sécantes passant par un point fixe P = (a, f(a)) et un point mobile Q, puis en rapprochant Q de P. On note h l'écart entre les deux abscisses, de sorte que Q = (a + h, f(a + h)). La pente de la sécante est alors le taux d'accroissement (f(a + h) − f(a))/h. Cette fraction ordinaire est définie pour tout h sauf 0 et mesure le taux de variation moyen de f entre a et a + h.

OpenStax définit la dérivée de f en a comme la limite de ce quotient : f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, si cette limite existe. On lit « f prime de a ». Géométriquement, c'est la pente de la tangente en (a, f(a)) ; elle représente aussi le taux de variation instantané de f en a. Si cette limite existe, f est dérivable en a. La tangente a alors pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a), l'équation point-pente passant par (a, f(a)) avec une pente f′(a).

Un premier calcul

Prenons f(x) = x² et a = 1. Alors f(1 + h) = 1 + 2h + h², donc f(1 + h) − f(1) = 2h + h² ; en divisant par h, on obtient 2 + h. Tout repose sur cette simplification : le h gênant au dénominateur disparaît, et on peut évaluer ce qui reste en h = 0. Ainsi, f′(1) = 2. La tangente en (1, 1) est y = 1 + 2(x − 1), soit y = 2x − 1. Pour h = 0.1, la pente de la sécante vaut 2.1 ; pour h = 0.01, elle vaut 2.01, ce qui retrouve le tableau construit à la main dans le cours sur les limites.

La même méthode fonctionne pour d'autres fonctions. Pour f(x) = 1/x en a = 1, le taux d'accroissement est (1/(1 + h) − 1)/h. Réduis le numérateur au même dénominateur : (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Divise par h pour obtenir −1/(1 + h), qui tend vers −1. La pente de 1/x en x = 1 vaut donc −1 : la courbe y descend. Pour une droite f(x) = mx + b, le quotient est (m(a + h) + b − ma − b)/h = m pour tout h, donc f′(a) = m : la dérivée d'une fonction affine est sa pente, comme prévu.

Il existe plusieurs notations pour une dérivée. En plus de f′(a), la notation de Leibniz dy/dx évoque une petite variation de y divisée par une petite variation de x ; c'est la notation la plus courante en sciences. Les unités suivent cette idée. Si s est une distance en mètres et t un temps en secondes, ds/dt s'exprime en mètres par seconde. Une dérivée a toujours pour unité celle de la sortie divisée par celle de l'entrée, ce qui permet de vérifier une réponse.