Beranda›Kalkulus›Turunan

Definisi turunan

Untuk f(x) = x², gradien garis sekan dari x = 1 ke x = 1 + h tepat sama dengan 2 + h. Ketika h mendekati nol, yang tersisa hanya 2.

Hasil bagi selisih

Dalam kursus limit, gradien garis singgung dicari melalui garis sekan yang melewati titik tetap P = (a, f(a)) dan titik bergerak Q, lalu Q digeser mendekati P. Selisih kedua nilai x itu kita beri nama h, sehingga Q = (a + h, f(a + h)). Gradien garis sekan menjadi hasil bagi selisih (f(a + h) − f(a))/h. Ini pecahan biasa yang terdefinisi untuk setiap h selain 0, dan menyatakan laju perubahan rata-rata f antara a dan a + h.

OpenStax mendefinisikan turunan f di a sebagai limit hasil bagi ini: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, asalkan limitnya ada. Notasinya dibaca f aksen a. Secara geometris, nilainya adalah gradien garis singgung di (a, f(a)); sebagai laju, nilainya adalah laju perubahan sesaat f di a. Jika limit itu ada, f terdiferensialkan di a. Persamaan garis singgungnya adalah y = f(a) + f′(a)(x − a), yaitu bentuk titik-gradien dengan titik (a, f(a)) dan gradien f′(a).

Menghitung satu contoh

Ambil f(x) = x² dan a = 1. Maka f(1 + h) = 1 + 2h + h², sehingga f(1 + h) − f(1) = 2h + h², dan setelah dibagi h hasilnya 2 + h. Kuncinya ada pada penyederhanaan ini: h pada penyebut dapat dicoret, lalu bentuk yang tersisa dapat dihitung pada h = 0. Jadi f′(1) = 2. Garis singgung di (1, 1) adalah y = 1 + 2(x − 1), atau y = 2x − 1. Dengan h = 0.1 gradien sekannya 2.1, dan dengan h = 0.01 nilainya 2.01, sesuai tabel yang kamu hitung sendiri dalam kursus limit.

Langkah yang sama berlaku untuk fungsi lain. Untuk f(x) = 1/x di a = 1, hasil bagi selisihnya (1/(1 + h) − 1)/h. Samakan penyebut pada pembilang: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Bagi dengan h sehingga diperoleh −1/(1 + h), yang mendekati −1. Jadi gradien 1/x di x = 1 adalah −1, dan kurvanya menurun di sana. Untuk garis f(x) = mx + b, hasil baginya (m(a + h) + b − ma − b)/h = m untuk setiap h, sehingga f′(a) = m: turunan garis adalah gradiennya, sebagaimana mestinya.

Perubahan mendatar h dan perubahan vertikal 2h + h² menghasilkan gradien sekan 2 + h. Garis singgung putus-putus y = 2x − 1 memiliki gradien 2.

Turunan dapat ditulis dengan beberapa cara. Selain f′(a), notasi Leibniz dy/dx mempertahankan gambaran perubahan kecil y dibagi perubahan kecil x. Bentuk inilah yang paling sering kamu jumpai dalam sains. Satuannya mengikuti gambaran itu. Jika s adalah jarak dalam meter dan t waktu dalam sekon, satuan ds/dt adalah meter per sekon. Satuan turunan selalu berupa satuan keluaran per satuan masukan, sehingga berguna untuk memeriksa jawaban.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Hasil bagi selisih x² di a = 1. Seret Q atau tekan h → 0; panel membandingkan gradien sekan 2 + h dengan f′(1) = 2. Geser a untuk mencoba titik lain.

f(x) = x², a = 1, h = 0.1. Berapa hasil bagi selisihnya?
f(x) = x². Berapa f′(3)?
f(x) = 3x + 5. Berapa f′(a) untuk sembarang a?
f(x) = x² + x. Berapa f′(2)?
Garis singgung y = x² di (2, 4) adalah y = 4x + b. Berapa b?
f(x) = 1/x. Berapa f′(1)?
f(x) = x³, a = 1, h = 0.1. Berapa hasil bagi selisihnya?
f′(2) = −3 berarti bahwa di sekitar x = 2 grafik:
- menurun, turun 3 satuan setiap bergeser satu satuan ke kanan
- menanjak, naik 3 satuan setiap bergeser satu satuan ke kanan
- mendatar
- memiliki lubang
Posisi s dalam meter, waktu t dalam sekon. Apa satuan ds/dt?
- meter per sekon
- sekon per meter
- meter
- meter per sekon kuadrat
Manakah bentuk f′(a)?
- lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h
- (f(a + h) − f(a))/h dengan h = 1
- f(a)/a
- lim_h→0 f(a + h)

Poin penting

Hasil bagi selisih (f(a + h) − f(a))/h: gradien garis sekan, laju rata-rata.
f′(a) = limitnya saat h → 0: gradien garis singgung, laju sesaat.
Garis singgung: y = f(a) + f′(a)(x − a).
Satuan turunan: satuan keluaran per satuan masukan.

Sumber kursus ini (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

Diperiksa: 2026-10-17