Определение производной

Для f(x) = x² угловой коэффициент секущей от x = 1 до x = 1 + h равен ровно 2 + h. Когда h стремится к нулю, остаётся 2.

Разностное отношение

В курсе пределов мы находили наклон касательной с помощью секущих через неподвижную точку P = (a, f(a)) и подвижную точку Q, приближая Q к P. Удобно обозначить разность абсцисс через h, тогда Q = (a + h, f(a + h)). Угловой коэффициент секущей выражается разностным отношением (f(a + h) − f(a))/h. Это обычная дробь, определённая при любом h, кроме 0. Она измеряет среднюю скорость изменения f между a и a + h.

В OpenStax производная f в точке a определяется как предел этого отношения: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, если предел существует. Обозначение читается «эф штрих от а». Геометрически это угловой коэффициент касательной в точке (a, f(a)); с точки зрения изменения величин это мгновенная скорость изменения f в точке a. Если предел существует, f дифференцируема в a. Уравнение касательной имеет вид y = f(a) + f′(a)(x − a): она проходит через (a, f(a)) с угловым коэффициентом f′(a).

Разберём пример

Возьмём f(x) = x² и a = 1. Тогда f(1 + h) = 1 + 2h + h², поэтому f(1 + h) − f(1) = 2h + h², а деление на h даёт 2 + h. В этом упрощении и состоит весь приём: мешающий h в знаменателе сокращается, и в оставшееся выражение можно подставить h = 0. Значит, f′(1) = 2. Касательная в точке (1, 1) имеет уравнение y = 1 + 2(x − 1), или y = 2x − 1. При h = 0.1 угловой коэффициент секущей равен 2.1, при h = 0.01 он равен 2.01. Это совпадает с таблицей, которую ты составлял вручную в курсе пределов.

Те же действия подходят и для других функций. Для f(x) = 1/x при a = 1 разностное отношение имеет вид (1/(1 + h) − 1)/h. Приведём числитель к общему знаменателю: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Разделив на h, получим −1/(1 + h), что стремится к −1. Значит, угловой коэффициент касательной к 1/x при x = 1 равен −1, и кривая здесь убывает. Для прямой f(x) = mx + b отношение (m(a + h) + b − ma − b)/h = m при любом h, поэтому f′(a) = m: производная линейной функции равна угловому коэффициенту прямой, как и должно быть.

Производную записывают по-разному. Помимо f′(a), используется обозначение Лейбница dy/dx, напоминающее об отношении малого изменения y к малому изменению x. В науке оно встречается особенно часто. Из этого же отношения следуют единицы измерения. Если s обозначает расстояние в метрах, а t время в секундах, то ds/dt измеряется в метрах в секунду. Единицы производной всегда получаются делением единиц выходной величины на единицы входной. Так удобно проверять ответ.