片側極限と無限大に発散する極限

2のすぐ左では|x − 2|/(x − 2)は常に−1、すぐ右では常に1です。両側の値は一致しません。

左側極限と右側極限

ある点の左右で様子が違うときは、分けて考えると役立ちます。左側極限lim_x→a⁻ f(x)ではaより小さいxだけを使い、右側極限lim_x→a⁺ f(x)ではaより大きいxだけを使います。g(x) = |x − 2|/(x − 2)では、xが2より小さいと分子は−(x − 2)となり、g(x) = −1です。2より大きいとg(x) = 1になります。したがって左側極限は−1、右側極限は1です。

通常の両側極限との関係は簡単で、覚えておくと便利です。lim_x→a f(x) = Lとなるのは、両方の片側極限が存在してLと等しいとき、かつそのときに限ります。gでは両側が一致しないので、lim_x→2 g(x)は存在しません。英語ではDNEと略します。OpenStaxには、x < 2でf(x) = x + 1、x ≥ 2でf(x) = x² − 4という場合分けの例もあります。左からは2 + 1 = 3へ、右からは4 − 4 = 0へ近づきます。グラフに跳びがあり、両側極限は存在しません。

どの数にも近づかない場合

極限が存在しない別の例として、0付近のsin(1/x)を見ます。xが小さくなると1/xは限りなく増え、sinの値は−1と1の間で激しく振動します。OpenStaxは2/π、2/(3π)、2/(5π)などのxを選んでいます。xは0に近づき続けるのに、関数値は1、−1、1、−1と交互になります。どちら側でも一つの数に落ち着かないため、片側極限も存在しません。

無限大に発散する極限と垂直漸近線

三つ目は、値が限りなく増える場合です。h(x) = 1/(x − 2)²では、x = 2.01と1.99でどちらも10,000、2.001と1.999では1,000,000になります。ある数に近づくのではなく、どんな数よりも大きくなります。これをlim_x→2 1/(x − 2)² = +∞と書きます。極限が存在しない様子を表す記号で、無限大を数とする主張ではありません。0付近の1/xでは、左から−∞、右から+∞へと逆向きに進みます。

aでの片側極限が+∞または−∞なら、直線x = aを垂直漸近線といいます。グラフはその線に近づきながら上や下へ伸びます。有理関数では分母がゼロ、分子がゼロでない点によく現れます。OpenStaxの例1/(x + 3)⁴ではx = −3が垂直漸近線です。ただし0/0には注意しましょう。(x² − 4)/(x − 2)は2で分母がゼロですが、因子を約分できるので漸近線ではなく穴になります。