Einseitige und unendliche Grenzwerte

Knapp links von 2 ist |x − 2|/(x − 2) immer −1, knapp rechts von 2 immer 1. Die beiden Seiten stimmen nie überein.

Grenzwerte von links und von rechts

Manchmal verhalten sich die beiden Seiten einer Stelle unterschiedlich. Dann hilft es, sie getrennt zu betrachten. Der linksseitige Grenzwert lim_x→a⁻ f(x) verwendet nur x-Werte kleiner als a. Der rechtsseitige Grenzwert lim_x→a⁺ f(x) verwendet nur x-Werte größer als a. Bei g(x) = |x − 2|/(x − 2) ist der Zähler für x kleiner als 2 gleich −(x − 2), also g(x) = −1. Für x größer als 2 ergibt sich g(x) = 1. Der linksseitige Grenzwert ist somit −1, der rechtsseitige 1.

Der Zusammenhang mit dem gewöhnlichen zweiseitigen Grenzwert ist einfach und wichtig: lim_x→a f(x) = L gilt genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich L sind. Bei g stimmen die Seiten nicht überein, also existiert lim_x→2 g(x) nicht, auf Englisch oft DNE abgekürzt. OpenStax verwendet auch ein stückweises Beispiel: f(x) = x + 1 für x < 2 und f(x) = x² − 4 für x ≥ 2. Von links nähern sich die Werte 2 + 1 = 3, von rechts 4 − 4 = 0. Der Graph springt, und der zweiseitige Grenzwert existiert nicht.

Wenn es überhaupt keine Zahl gibt

Ein Grenzwert kann noch auf andere Weise fehlen. Betrachte sin(1/x) nahe 0. Wenn x kleiner wird, wächst 1/x unbegrenzt, und der Sinus dieser schnell wachsenden Zahl schwankt immer weiter zwischen −1 und 1. OpenStax wählt x-Werte wie 2/π, 2/(3π), 2/(5π) und so weiter. Dort wechselt die Funktion endlos zwischen 1, −1, 1, −1, während x sich immer weiter 0 nähert. Von keiner Seite nähern sich die Werte einer einzigen Zahl. Keiner der beiden einseitigen Grenzwerte existiert.

Unendliche Grenzwerte und senkrechte Asymptoten

Die dritte Verhaltensweise ist unbegrenztes Wachstum. Bei h(x) = 1/(x − 2)² sind die Werte für x = 2.01 und 1.99 jeweils 10 000, für 2.001 und 1.999 jeweils 1 000 000. Sie nähern sich keiner Zahl, sondern übersteigen irgendwann jede vorgegebene Zahl. Wir schreiben lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Das beschreibt, wie ein endlicher Grenzwert ausbleibt. Es behauptet nicht, dass Unendlich eine Zahl ist. Bei 1/x nahe 0 gehen die beiden Seiten in entgegengesetzte Richtungen: links nach −∞, rechts nach +∞.

Ist ein einseitiger Grenzwert bei a gleich +∞ oder −∞, dann ist die senkrechte Gerade x = a eine Asymptote. Der Graph verläuft immer näher an ihr nach oben oder unten. Rationale Funktionen haben oft dort eine solche Asymptote, wo der Nenner null und der Zähler nicht null ist. Das OpenStax-Beispiel 1/(x + 3)⁴ hat bei x = −3 eine senkrechte Asymptote. Vorsicht bei null durch null: (x² − 4)/(x − 2) hat bei 2 einen Nenner von null, aber dort eine Lücke statt einer Asymptote, weil sich der Nullfaktor kürzen lässt.