Die Grenzwertsätze

Setzt du x = 9 in (√x − 3)/(x − 9) ein, erhältst du 0/0. Multiplizierst du Zähler und Nenner mit √x + 3, ergibt sich als Grenzwert genau 1/6.

Von Schätzungen zu exakten Werten

Tabellen liefern gute Vermutungen, beweisen aber nichts. Mit den Grenzwertsätzen berechnest du Grenzwerte exakt, indem du eine Funktion in einfache Teile zerlegst. Zwei grundlegende Grenzwerte bilden den Anfang: lim_x→a x = a und lim_x→a c = c für eine Konstante c. Im Graphen sind beide unmittelbar erkennbar. Die Sätze beschreiben dann, wie sich Grenzwerte verknüpfen lassen. Es gelte lim_x→a f(x) = L und lim_x→a g(x) = M, wobei beide Werte reelle Zahlen sind.

• Summe und Differenz: lim (f ± g) = L ± M.
• Konstanter Faktor: lim c·f = c·L.
• Produkt: lim f·g = L·M.
• Quotient: lim f/g = L/M, sofern M ≠ 0.
• Potenz: lim fⁿ = Lⁿ für eine positive ganze Zahl n.
• Wurzel: lim ⁿ√f = ⁿ√L (bei geradem n muss L mindestens 0 sein).

Nacheinander angewendet zeigen diese Sätze: Für jedes Polynom p gilt lim_x→a p(x) = p(a). Dasselbe gilt für eine rationale Funktion p(x)/q(x), sofern q(a) ≠ 0. Besteht eine Funktion aus Summen, Produkten und Quotienten mit x und ist der Nenner bei a nicht null, kannst du also meist einfach einsetzen. Das heißt direktes Einsetzen. Zum Beispiel: lim_x→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10 und lim_x→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Wenn Einsetzen 0/0 ergibt

Interessant sind die Grenzwerte, bei denen das Einsetzen scheitert. Gehen Zähler und Nenner beide gegen 0, gilt die Quotientenregel nicht. 0/0 sagt vorerst nichts aus: Der Grenzwert könnte jede Zahl sein oder gar nicht existieren. Die Lösung ist eine Umformung zu einer Funktion, die für x ≠ a mit der ursprünglichen übereinstimmt und leichter zu behandeln ist. Das erste Werkzeug ist Faktorisieren. Bei (x² − 5x + 6)/(x − 3) ist der Zähler (x − 2)(x − 3). Für x ≠ 3 ist die Funktion also gleich x − 2, und der Grenzwert bei 3 ist 1. Kürzen ist erlaubt, weil der Grenzwert den Wert bei x = 3 selbst nie verwendet.

Das zweite Werkzeug ist das Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck bei einer Quadratwurzel. Erweitere (√x − 3)/(x − 9) mit √x + 3. Der Zähler wird x − 9 und lässt sich gegen den Nenner kürzen. Es bleibt 1/(√x + 3). Jetzt klappt das Einsetzen: 1/(3 + 3) = 1/6. Bei Doppelbrüchen hilft als drittes Werkzeug, die kleinen Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Alle drei Verfahren entfernen den Faktor, der beide Teile null werden lässt.

Der Sandwichsatz

Manche Grenzwerte lassen sich algebraisch nicht so leicht bestimmen. Hier hilft der Sandwichsatz: Gilt f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) für x nahe a und haben f und h dort beide den Grenzwert L, dann hat auch g den Grenzwert L. Die Funktion ist eingeschlossen. OpenStax beweist damit anhand des Einheitskreises, dass (sin θ)/θ gegen 1 geht, wenn θ gegen 0 geht. In Einheit 2 ließ sich dieser Grenzwert nur mit einer Tabelle schätzen. Er wird später im Ableitungskurs zum entscheidenden Schritt bei der Herleitung der Sinusableitung.