edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Analyse›Limieten

De limietregels

Vul x = 9 in bij (√x − 3)/(x − 9) en je krijgt 0/0. Vermenigvuldig teller en noemer met √x + 3 en de limiet blijkt precies 1/6 te zijn.

Van schattingen naar exacte waarden

Tabellen geven goede vermoedens, maar bewijzen niets. Met de limietregels bereken je limieten exact door een functie op te delen in eenvoudige stukken. Je begint met twee basislimieten: limx→a x = a en limx→a c = c voor een constante c. Beide zie je direct in een grafiek. De regels geven vervolgens aan hoe je limieten combineert. Stel dat limx→a f(x) = L en limx→a g(x) = M, beide reële getallen.

  • Som en verschil: lim (f ± g) = L ± M.
  • Constante factor: lim c·f = c·L.
  • Product: lim f·g = L·M.
  • Quotiënt: lim f/g = L/M, mits M ≠ 0.
  • Macht: lim fn = Ln voor een positief geheel getal n.
  • Wortel: lim n√f = n√L (bij een even n moet L minstens 0 zijn).

Door deze regels achter elkaar toe te passen zie je dat voor elke veelterm p geldt: limx→a p(x) = p(a). Hetzelfde geldt voor een rationale functie p(x)/q(x) waar q(a) ≠ 0. Is een functie opgebouwd uit x met sommen, producten en quotiënten en is de noemer bij a niet nul, dan kun je dus meestal gewoon invullen. Dat heet direct substitueren. Bijvoorbeeld: limx→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10 en limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Als invullen 0/0 geeft

Interessant zijn de limieten waarbij invullen niet werkt. Gaan teller en noemer beide naar 0, dan geldt de quotiëntregel niet. 0/0 zegt nog niets: de limiet kan elk getal zijn of niet bestaan. Herschrijf de functie zodat die voor x ≠ a gelijk is aan een eenvoudigere functie. Probeer eerst te ontbinden. Bij (x² − 5x + 6)/(x − 3) is de teller (x − 2)(x − 3). Voor x ≠ 3 is de functie dus x − 2 en de limiet bij 3 is 1. Wegstrepen mag, want voor de limiet gebruik je nooit x = 3 zelf.

Bij een wortel is vermenigvuldigen met de toegevoegde vorm een tweede hulpmiddel. Vermenigvuldig bij (√x − 3)/(x − 9) teller en noemer met √x + 3. De teller wordt x − 9. Die factor valt weg tegen de noemer en er blijft 1/(√x + 3) over. Nu werkt invullen: 1/(3 + 3) = 1/6. Een derde hulpmiddel, bij breuken binnen breuken, is eerst de kleine breuken gelijknamig maken. Alle drie doen hetzelfde: de factor verwijderen die beide delen nul maakt.

De insluitstelling

Sommige limieten laten zich niet algebraïsch berekenen. Dan helpt de insluitstelling: als f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) voor x dicht bij a, en f en h hebben beide limiet L bij a, dan heeft g ook limiet L. De functie zit ingesloten. OpenStax gebruikt dit met een tekening van de eenheidscirkel om te bewijzen dat (sin θ)/θ naar 1 gaat als θ naar 0 gaat. In hoofdstuk 2 kon je die limiet alleen met een tabel schatten. Later gebruik je deze limiet als belangrijke stap bij het bepalen van de afgeleide van sinus.

Probeer eerst in te vullen voordat je gaat ontbinden. Krijg je een reëel getal met een noemer ongelijk aan nul, dan is dat de limiet en ben je klaar. Alleen bij 0/0 zijn de bovenstaande herschrijvingen nodig. Een getal ongelijk aan nul gedeeld door 0 wijst juist op een oneindige limiet.
Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

(sin x)/x rond 0. Nader vanaf beide kanten. Met de insluitstelling bewijs je de waarde die de tabel laat zien: 1.
  1. limx→3 (2x² − 3x + 1) = ?
  2. limx→2 (x² + 1)/(x + 3) = ?
  3. limx→3 (x² − 5x + 6)/(x − 3) = ?
  4. limx→9 (√x − 3)/(x − 9) = ? Als kommagetal, op 3 decimalen.
  5. limx→−1 (x² − 1)/(x + 1) = ?
  6. lim f = 4 en lim g = −2 bij a. Wat is lim (3f − g)?
  7. Dezelfde f en g: wat is lim f·g?
  8. Dezelfde f en g: wat is lim f/g?
  9. Dezelfde f: wat is lim f³?
  10. Invullen geeft 0/0. Wat weet je nu over de limiet?
    • Nog niets; herschrijf de functie
    • De limiet is 0
    • De limiet bestaat niet
    • De limiet is 1
  11. Als 1 − x² ≤ g(x) ≤ 1 + x² rond 0, dan is limx→0 g(x):
    • 1
    • 0
    • 2
    • onbekend
Belangrijkste punten
  • Limietregels: sommen, constante factoren, producten, quotiënten (noemer niet nul), machten en wortels.
  • Veeltermen en rationale functies met q(a) ≠ 0: vul direct in.
  • 0/0: ontbind, vermenigvuldig met de toegevoegde vorm of voeg breuken samen. Vul daarna in.
  • Insluitstelling: een functie tussen twee functies met dezelfde limiet heeft ook die limiet.
Bronnen van deze cursus (5)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
  • 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
  • 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
  • 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Geraadpleegd: 2026-10-17