Las leyes de los límites

Sustituye x = 9 en (√x − 3)/(x − 9) y obtienes 0/0. Multiplica numerador y denominador por √x + 3 y el límite resulta ser exactamente 1/6.

De estimaciones a valores exactos

Las tablas dan buenas estimaciones, pero no demuestran nada. Las leyes de los límites permiten calcularlos exactamente descomponiendo una función en partes sencillas. Todo empieza con dos límites básicos: lim_x→a x = a y lim_x→a c = c para una constante c. Ambos se ven en una gráfica. Las leyes indican después cómo se combinan los límites. Supongamos que lim_x→a f(x) = L y lim_x→a g(x) = M, ambos números reales.

• Suma y diferencia: lim (f ± g) = L ± M.
• Múltiplo constante: lim c·f = c·L.
• Producto: lim f·g = L·M.
• Cociente: lim f/g = L/M, siempre que M ≠ 0.
• Potencia: lim fⁿ = Lⁿ para un entero positivo n.
• Raíz: lim ⁿ√f = ⁿ√L (para n par, L debe ser al menos 0).

Aplicadas sucesivamente, estas leyes muestran que para cualquier polinomio p, lim_x→a p(x) = p(a). Lo mismo ocurre para una función racional p(x)/q(x) siempre que q(a) ≠ 0. Así que, si una función se construye a partir de x con sumas, productos y cocientes, y el denominador no se anula en a, normalmente basta con sustituir. Es la sustitución directa. Por ejemplo, lim_x→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10, y lim_x→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Cuando sustituir da 0/0

Los límites interesantes son aquellos donde la sustitución falla. Si numerador y denominador tienden a 0, la ley del cociente no se aplica y 0/0 aún no dice nada: el límite podría ser cualquier número o no existir. La solución es reescribir la función para que coincida con otra más sencilla cuando x ≠ a. La primera herramienta es factorizar. Para (x² − 5x + 6)/(x − 3), el numerador es (x − 2)(x − 3), así que para x ≠ 3 la función vale x − 2 y el límite en 3 es 1. Cancelar es válido porque el límite nunca usa el propio x = 3.

La segunda herramienta es multiplicar por un conjugado cuando hay una raíz cuadrada. Para (√x − 3)/(x − 9), multiplica numerador y denominador por √x + 3. El numerador queda x − 9, que se cancela con el denominador y deja 1/(√x + 3). Ahora sí se puede sustituir: 1/(3 + 3) = 1/6. Una tercera herramienta para fracciones complejas es combinar primero las fracciones pequeñas con un denominador común. Las tres hacen lo mismo: eliminan el factor que anula ambas partes.

El teorema del encaje

Algunos límites se resisten al álgebra. El teorema del encaje los resuelve: si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) cerca de a, y f y h tienen límite L en a, entonces g también tiene límite L. Queda atrapada. OpenStax lo usa con un dibujo de la circunferencia unidad para demostrar que (sin θ)/θ tiende a 1 cuando θ tiende a 0, el límite que la unidad 2 solo pudo estimar con una tabla. Este límite es el paso clave para hallar la derivada del seno en el curso de derivadas.