Le operazioni sui limiti

Sostituendo x = 9 in (√x − 3)/(x − 9) ottieni 0/0. Moltiplica numeratore e denominatore per √x + 3: il limite risulta esattamente 1/6.

Dalle stime ai valori esatti

Le tabelle danno buone stime, ma non dimostrazioni. Le operazioni sui limiti consentono di calcolare valori esatti scomponendo una funzione in parti semplici. Si parte da due limiti fondamentali: lim_x→a x = a e lim_x→a c = c per una costante c. Entrambi sono evidenti dal grafico. Le regole spiegano poi come combinare i limiti. Supponiamo che lim_x→a f(x) = L e lim_x→a g(x) = M, entrambi numeri reali.

• Somma e differenza: lim (f ± g) = L ± M.
• Multiplo costante: lim c·f = c·L.
• Prodotto: lim f·g = L·M.
• Quoziente: lim f/g = L/M, purché M ≠ 0.
• Potenza: lim fⁿ = Lⁿ per un intero positivo n.
• Radice: lim ⁿ√f = ⁿ√L; se n è pari, L deve essere almeno 0.

Applicando queste regole una dopo l'altra si ottiene, per ogni polinomio p, lim_x→a p(x) = p(a). Lo stesso vale per una funzione razionale p(x)/q(x) dove q(a) ≠ 0. Di solito, quindi, se una funzione è costruita da x con somme, prodotti e quozienti e il denominatore non si annulla in a, basta sostituire. È la sostituzione diretta. Per esempio, lim_x→3 (2x² − 3x + 1) = 18 − 9 + 1 = 10 e lim_x→2 (x² + 1)/(x + 3) = 5/5 = 1.

Quando la sostituzione dà 0/0

I limiti più interessanti sono quelli in cui la sostituzione non funziona. Se numeratore e denominatore tendono entrambi a 0, la regola del quoziente non si applica. 0/0 non dice ancora nulla: il limite potrebbe essere qualunque numero o non esistere. Occorre riscrivere la funzione in modo che coincida con una più semplice per x ≠ a. Il primo strumento è la scomposizione. In (x² − 5x + 6)/(x − 3), il numeratore è (x − 2)(x − 3): per x ≠ 3 la funzione vale x − 2 e il limite in 3 è 1. La semplificazione è lecita perché il limite non usa mai x = 3.

Il secondo strumento, quando compare una radice quadrata, è moltiplicare per il coniugato. Per (√x − 3)/(x − 9), moltiplica numeratore e denominatore per √x + 3. Il numeratore diventa x − 9, si semplifica con il denominatore e resta 1/(√x + 3). Ora la sostituzione funziona: 1/(3 + 3) = 1/6. Un terzo strumento, per le frazioni composte, è ridurre prima le piccole frazioni a denominatore comune. Tutti e tre eliminano il fattore che rende nulle entrambe le parti.

Il teorema del confronto

Alcuni limiti resistono all'algebra. Il teorema del confronto li affronta così: se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) vicino ad a e sia f sia h hanno limite L in a, allora anche g ha limite L. È intrappolata fra le altre due. OpenStax lo usa con una figura del cerchio unitario per dimostrare che (sin θ)/θ tende a 1 quando θ tende a 0, il limite che nell'unità 2 avevamo solo stimato con una tabella. Questo risultato diventa il passaggio decisivo per ricavare la derivata del seno nel corso sulle derivate.