Limiti unilaterali e infiniti

Appena a sinistra di 2, |x − 2|/(x − 2) vale sempre −1; appena a destra vale sempre 1. I due lati non coincidono mai.

Limite sinistro e limite destro

A volte i due lati di un punto si comportano diversamente e conviene separarli. Il limite sinistro, scritto lim_x→a⁻ f(x), usa solo valori x minori di a. Il limite destro, lim_x→a⁺ f(x), usa solo valori x maggiori di a. Per g(x) = |x − 2|/(x − 2), ogni x minore di 2 rende il numeratore uguale a −(x − 2), quindi g(x) = −1; ogni x maggiore di 2 dà g(x) = 1. Il limite sinistro è dunque −1 e quello destro è 1.

Il legame con il limite bilaterale è semplice e vale la pena ricordarlo: lim_x→a f(x) = L se e solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e valgono L. Per g i due lati differiscono, quindi lim_x→2 g(x) non esiste, spesso indicato in inglese con DNE. OpenStax usa anche un esempio a tratti: f(x) = x + 1 per x < 2 e f(x) = x² − 4 per x ≥ 2. Da sinistra i valori tendono a 2 + 1 = 3; da destra a 4 − 4 = 0. Il grafico presenta un salto e il limite bilaterale non esiste.

Un salto in x = 2: il limite sinistro è 3, indicato dal cerchietto vuoto, e quello destro è 0, che coincide anche con f(2).

Quando non si arriva a nessun numero

Un limite può non esistere anche in un altro modo. Guarda sin(1/x) vicino a 0. Quando x si riduce, 1/x cresce senza limite e il seno di un numero che cresce rapidamente continua a oscillare fra −1 e 1. OpenStax sceglie valori come 2/π, 2/(3π), 2/(5π) e così via: la funzione alterna 1, −1, 1, −1 all'infinito mentre x si avvicina sempre più a 0. Da nessun lato i valori si stabilizzano attorno a un numero, quindi non esiste nessuno dei due limiti unilaterali.

Limiti infiniti e asintoti verticali

Il terzo comportamento è la crescita senza limite. Per h(x) = 1/(x − 2)², i risultati per x = 2.01 e 1.99 sono entrambi 10 000; per 2.001 e 1.999 sono 1 000 000. Non si avvicinano a un numero, ma superano qualunque numero si scelga. Scriviamo lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Descriviamo così come manca un limite finito: non diciamo che l'infinito sia un numero. Per 1/x vicino a 0 i due lati vanno in direzioni opposte: −∞ da sinistra e +∞ da destra.

Quando un limite unilaterale in a è +∞ o −∞, la retta verticale x = a è un asintoto verticale: il grafico sale o scende avvicinandosi sempre più alla retta. Le funzioni razionali spesso ne hanno uno dove il denominatore è zero e il numeratore no. L'esempio di OpenStax, 1/(x + 3)⁴, ha un asintoto verticale in x = −3. Attenzione a zero su zero: (x² − 4)/(x − 2) ha denominatore nullo in 2, ma lì presenta un buco, non un asintoto, perché il fattore si semplifica.

Tre modi in cui un limite può non esistere in un punto: i lati tendono a numeri diversi, formando un salto; i valori oscillano senza stabilizzarsi, come sin(1/x); oppure crescono senza limite, con un asintoto verticale. I grafici sono diversi in ciascun caso.

Caricamento

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|x − 2|/(x − 2). Avvicinati a 2 da sinistra, poi passa a destra: i valori restano rispettivamente −1 e 1.

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1/(x − 2)² vicino all'asintoto verticale x = 2. I valori della tabella si moltiplicano per 100 ogni volta che la distanza si riduce di dieci volte.

lim_x→2⁻ |x − 2|/(x − 2) = ?
f(x) = x + 1 per x < 2, x² − 4 per x ≥ 2. Limite sinistro in 2?
Stessa funzione: limite destro in 2?
Per questa funzione, quindi, lim_x→2 f(x):
- Non esiste
- 3
- 0
- 1.5
Quanto vale 1/(x − 2)² per x = 2.001?
lim_x→0⁻ 1/x è:
- −∞
- +∞
- 0
- −1
Dov'è l'asintoto verticale di 1/(x + 3)⁴? Indica x.
Perché sin(1/x) non ha limite in 0?
- Continua a oscillare fra −1 e 1
- Cresce senza limite
- Non è definita per x negativi
- I limiti sinistro e destro sono 1 e −1
(x² − 4)/(x − 2) ha un asintoto verticale in x = 2?
- No, ha un buco
- Sì
- Solo da destra
- Solo da sinistra
Se lim_x→a⁻ f(x) = 5 e lim_x→a⁺ f(x) = 5, allora lim_x→a f(x):
- vale 5
- non esiste
- vale f(a)
- vale 10

Punti chiave

Il limite sinistro usa x < a, quello destro usa x > a.
Il limite bilaterale esiste se e solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e coincidono.
Un limite può non esistere per un salto, per oscillazioni o per una crescita senza limite.
Un limite unilaterale infinito in a significa che x = a è un asintoto verticale.

Fonti di questo corso (5)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).

Consultato il: 2026-10-17