Límites laterales e infinitos

Justo a la izquierda de 2, |x − 2|/(x − 2) siempre vale −1; justo a la derecha de 2, siempre vale 1. Los dos lados nunca coinciden.

Límites por la izquierda y por la derecha

A veces los dos lados de un punto muestran comportamientos distintos y conviene separarlos. El límite por la izquierda, escrito lim_x→a⁻ f(x), solo usa valores de x menores que a. El límite por la derecha, lim_x→a⁺ f(x), solo usa valores mayores que a. Para g(x) = |x − 2|/(x − 2), cualquier x menor que 2 hace que el numerador sea −(x − 2), así que g(x) = −1; cualquier x mayor que 2 da g(x) = 1. Por tanto, el límite izquierdo es −1 y el derecho es 1.

La conexión con el límite bilateral es sencilla y conviene recordarla: lim_x→a f(x) = L exactamente cuando ambos límites laterales existen y valen L. Para g, los lados difieren, así que lim_x→2 g(x) no existe, abreviado a menudo DNE en inglés. OpenStax también usa una función a trozos: f(x) = x + 1 para x < 2 y f(x) = x² − 4 para x ≥ 2. Por la izquierda, los valores se acercan a 2 + 1 = 3; por la derecha, a 4 − 4 = 0. La gráfica salta y el límite bilateral no existe.

Cuando no hay ningún número al que acercarse

Un límite puede no existir de otra manera. Mira sin(1/x) cerca de 0. Al reducir x, 1/x crece sin cota, y el seno de un número que crece deprisa sigue oscilando entre −1 y 1. OpenStax elige valores de x como 2/π, 2/(3π), 2/(5π), etc., donde la función alterna 1, −1, 1, −1 indefinidamente, acercándose siempre a 0. Los valores nunca se estabilizan en un número por ninguno de los lados, así que no existe ningún límite lateral.

Límites infinitos y asíntotas verticales

El tercer comportamiento es el crecimiento sin cota. Para h(x) = 1/(x − 2)², los resultados en x = 2.01 y 1.99 son ambos 10000, y en 2.001 y 1.999 son 1000000. No se acercan a un número; superan cualquier número que propongas. Escribimos lim_x→2 1/(x − 2)² = +∞. Esto describe cómo falla el límite, no afirma que infinito sea un número. Para 1/x cerca de 0, los dos lados van en sentidos opuestos: −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha.

Cuando un límite lateral en a es +∞ o −∞, la recta vertical x = a es una asíntota vertical: la gráfica sube o baja junto a ella, cada vez más cerca. Las funciones racionales suelen tener una donde el denominador es cero y el numerador no. El ejemplo 1/(x + 3)⁴ de OpenStax tiene una asíntota vertical en x = −3. Cuidado con cero entre cero: (x² − 4)/(x − 2) tiene denominador cero en 2, pero presenta un hueco, no una asíntota, porque el factor se cancela.