Die beiden Ausgangsfragen der Analysis

Auf der Kurve y = x² hat die Gerade durch (1, 1) und (2, 4) die Steigung 3. Verschiebst du den zweiten Punkt nach (1.5, 2.25), sinkt die Steigung auf 2.5.

Bei einer Geraden ist die Steigung einfach

Eine Gerade hat überall dieselbe Änderungsrate. Bei f(x) = −2x − 3 sinkt y bei jedem Schritt um 1 nach rechts um 2. Die Steigung ist daher an jeder Stelle −2. Bei g(x) = (1/2)x + 1 steigt y pro Schritt um eine halbe Einheit, und bei h(x) = 2 ändert sich y nie: Die Steigung ist 0. OpenStax beginnt den Abschnitt über Änderungsraten im Kapitel zu Grenzwerten mit genau diesen drei Geraden. Sie zeigen, was eine Änderungsrate bedeutet, wenn sich die Antwort durch eine einzige Zahl ausdrücken lässt.

Betrachte nun k(x) = x². Von links kommend fällt der Graph zunächst steil, wird am Ursprung flacher und steigt rechts immer schneller. Keine einzelne Zahl beschreibt, wie schnell er sich ändert. Die Steilheit hängt davon ab, wo du dich befindest. Das ist das Tangentenproblem: Wie bestimmt man die Steigung einer Kurve an einem Punkt? Die Gerade, die die Kurve dort berührt, die Tangente, hat die gesuchte Steigung. Doch sie verläuft nur durch einen bekannten Punkt, und zur Berechnung einer Steigung braucht man zwei Punkte.

Sekanten nähern sich der Tangente

Der Ausweg ist ein zweiter Punkt auf der Kurve. Eine Gerade durch zwei Kurvenpunkte heißt Sekante. Ihre Steigung ist m = (f(x) − f(a))/(x − a). Bei f(x) = x² und a = 1 hat die Sekante durch (2, 4) die Steigung (4 − 1)/(2 − 1) = 3. Durch (1.5, 2.25) beträgt sie (2.25 − 1)/0.5 = 2.5. Durch (1.25, 1.5625) ist die Steigung 2.25. Wenn der zweite Punkt auf (1, 1) zugleitet, drehen sich die Sekanten auf eine einzige Gerade zu. Ihre Steigungen nähern sich einer Zahl: 2. Diese Gerade ist die Tangente, und 2 ist ihre Steigung.

Dasselbe Vorgehen beantwortet eine Frage aus der Physik. OpenStax lässt einen Stein aus 64 Fuß Höhe fallen. Nach t Sekunden ist seine Höhe s(t) = −16t² + 64. Die mittlere Geschwindigkeit in einem Zeitintervall ist die Höhenänderung geteilt durch die Zeitänderung. Auf [0.49, 0.5] beträgt sie −15.84 Fuß pro Sekunde, auf [0.5, 0.51] dagegen −16.16. Die Momentangeschwindigkeit bei t = 0.5 muss dazwischen liegen. Verkleinert man die Intervalle weiter, deuten die Werte auf −16 hin. Die mittlere Geschwindigkeit ist eine Sekantensteigung, die Momentangeschwindigkeit eine Tangentensteigung.

Das Flächenproblem

Die zweite Frage betrifft Flächen. Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x² + 1 und der x-Achse von x = 0 bis x = 3? Für eine Fläche mit gekrümmtem oberen Rand gibt es keine passende geometrische Formel. Mit Rechtecken lässt sie sich trotzdem schätzen. Teile [0, 3] in drei Abschnitte der Breite 1 und verwende die Kurvenhöhe am linken Rand: Die Höhen 1, 2 und 5 ergeben Rechteckflächen von 1, 2 und 5, insgesamt also 8. Schmalere Rechtecke passen besser zur Kurve. Die exakte Fläche ist der Wert, dem sich die Summen nähern, wenn die Breiten gegen null gehen.

Beide Probleme enden auf dieselbe Weise: Berechne etwas, das sich berechnen lässt (eine Sekantensteigung oder eine Rechtecksumme), und frage dann, was passiert, wenn ein Abstand gegen null geht. Das nennt man Grenzwertbildung. Aus dem Tangentenproblem entstehen die Differentialrechnung und die Ableitung, aus dem Flächenproblem die Integralrechnung und das Integral. Der Rest dieses Kurses behandelt die Grenzwerte selbst, damit die nächsten beiden Kurse auf einer soliden Grundlage aufbauen.