Суммы Римана и метод средних прямоугольников

Даже с четырьмя прямоугольниками сумма по серединам для x² на [0, 2] равна 2.625 и отличается от точного 8/3 менее чем на 0.042.

Любая точка каждой части

Левый и правый края являются лишь двумя вариантами выбора. В общем случае выбери любую точку x_i* в i-й части и возьми высоту f(x_i*). Сумма Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx называется суммой Римана. Как отмечает OpenStax, она названа в честь математика 19 века Бернхарда Римана, развившего эту идею. Левые и правые суммы являются суммами Римана, как и сумма по серединам M_n, где высота берётся в середине каждой части.

Сумма по серединам обычно намного точнее обеих сумм по краям. Для x² на [0, 2] при n = 4 середины равны 0.25, 0.75, 1.25 и 1.75. Их квадраты 0.0625, 0.5625, 1.5625 и 3.0625 в сумме дают 5.25; умножение на Δx = 0.5 даёт M₄ = 2.625. Для сравнения: L₄ = 1.75 и R₄ = 3.75 ошибались примерно на 0.92 и 1.08. На графике видно почему. В каждой части прямоугольник отсекает узкий кусочек под кривой с одной стороны и добавляет похожий с другой, и они почти компенсируются.

Таблица выше дана с округлением до четырёх знаков после точки и показывает закономерность для x² на [0, 2]. При каждом удвоении n ошибки сумм по краям примерно делятся пополам, а ошибка суммы по серединам уменьшается примерно вчетверо: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Все три столбца стремятся к одному числу 2.6666…, и определённый интеграл в следующем уроке задаётся именно этим общим пределом.

Между тремя суммами есть простая связь. Среднее левой и правой сумм, (L_n + R_n)/2, даёт метод трапеций: каждый прямоугольник заменяется трапецией, соединяющей концы участка кривой. Для x² на [0, 2] при n = 4 получается (1.75 + 3.75)/2 = 2.75, завышение примерно на 0.083, примерно вдвое больше ошибки суммы по серединам и с противоположным знаком. Для многих гладких кривых, изгибающихся вверх, трапеции завышают площадь, а средние прямоугольники занижают примерно вдвое слабее. Эта закономерность служит основой метода Симпсона в последующих курсах.

Компьютеры используют именно такие суммы. Когда у функции нет удобной первообразной или она известна лишь по измеренным данным, программа складывает тысячи средних прямоугольников или трапеций. Практикум ниже ограничивает n числом 64, чтобы прямоугольники оставались видны, но закономерность таблицы сохраняется: каждое удвоение уменьшает ошибку метода средних прямоугольников примерно в четыре раза.

Верхние и нижние суммы

Для гарантированного завышения выбери x_i* там, где f наибольшая в каждой части: получится верхняя сумма. Выбор наименьших значений f даёт нижнюю сумму, гарантированно заниженную. Истинная площадь всегда между ними. Для функции, которая на всём отрезке только возрастает или только убывает, наибольшие и наименьшие значения находятся на краях, поэтому верхняя и нижняя суммы совпадают с правой и левой в соответствующем порядке. Кривая OpenStax (x − 1)³ + 4 на [0, 2] возрастает, L₄ = 7.5 и R₄ = 8.5, обе суммы при росте n стремятся к 8.