Riemann-Summen und die Mittelpunktregel

Mit nur vier Rechtecken ergibt die Mittelpunktsumme für x² auf [0, 2] bereits 2.625. Sie weicht um weniger als 0.042 vom exakten Wert 8/3 ab.

Ein beliebiger Punkt pro Teilintervall

Linke und rechte Randpunkte sind nur zwei von vielen Möglichkeiten. Allgemein wählst du einen beliebigen Punkt x_i* im i-ten Teilintervall und verwendest f(x_i*) als Höhe. Die Summe Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx heißt Riemann-Summe. Wie OpenStax erläutert, ist sie nach Bernhard Riemann benannt, der die Idee im 19. Jahrhundert entwickelte. Links- und Rechtssummen sind Riemann-Summen, ebenso die Mittelpunktsumme M_n, die jede Höhe in der Mitte des Teilintervalls bestimmt.

Die Mittelpunktsumme ist meist deutlich genauer als die beiden Randsummen. Für x² auf [0, 2] mit n = 4 sind die Mittelpunkte 0.25, 0.75, 1.25 und 1.75. Ihre Quadrate sind 0.0625, 0.5625, 1.5625 und 3.0625. Ihre Summe ist 5.25; mal Δx = 0.5 ergibt M₄ = 2.625. Zum Vergleich: L₄ = 1.75 und R₄ = 3.75 wichen um etwa 0.92 bzw. 1.08 ab. Den Grund siehst du im Graphen. In jedem Teilintervall fehlt auf einer Seite ein kleiner Flächenstreifen, während auf der anderen ein ähnlicher hinzukommt. Beides gleicht sich fast aus.

Die Tabelle oben ist auf vier Nachkommastellen gerundet und zeigt das Muster für x² auf [0, 2]. Bei jeder Verdopplung von n halbieren sich die Fehler der Randsummen ungefähr. Der Fehler der Mittelpunktsumme sinkt dagegen auf etwa ein Viertel: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Alle drei Spalten nähern sich derselben Zahl 2.6666…. Das bestimmte Integral in der nächsten Einheit ist genau als dieser gemeinsame Grenzwert definiert.

Die drei Summen hängen einfach zusammen. Der Mittelwert aus Links- und Rechtssumme, (L_n + R_n)/2, ist die Trapezregel. Sie ersetzt jedes Rechteck durch ein Trapez, das die beiden Randpunkte des Graphen verbindet. Für x² auf [0, 2] mit n = 4 ergibt sie (1.75 + 3.75)/2 = 2.75. Das ist etwa 0.083 zu viel, ungefähr der doppelte Mittelpunktfehler mit umgekehrtem Vorzeichen. Dieses Muster gilt für viele glatte Kurven: Trapeze überschätzen bei nach oben gekrümmten Graphen den Flächeninhalt, Mittelpunktrechtecke unterschätzen ihn um etwa halb so viel. Darauf baut später die Simpsonregel auf.

Computer verwenden genau diese Summen. Hat eine Funktion keine leicht bestimmbare Stammfunktion oder kennt man sie nur aus Messdaten, addiert ein Programm Tausende von Mittelpunktrechtecken oder Trapezen. Das Labor unten begrenzt n auf 64, damit du die Rechtecke noch erkennen kannst. Das Muster der Tabelle setzt sich aber fort: Jede Verdopplung macht den Mittelpunktfehler etwa viermal kleiner.

Ober- und Untersummen

Für eine sichere Überschätzung wählst du x_i* dort, wo f im jeweiligen Teilintervall am größten ist. Das Ergebnis heißt Obersumme. Wählst du jeweils die kleinste Höhe, erhältst du eine Untersumme, also eine sichere Unterschätzung. Der genaue Flächeninhalt liegt immer dazwischen. Ist die Funktion im ganzen Intervall nur wachsend oder nur fallend, liegen die größten und kleinsten Werte an den Rändern. Ober- und Untersumme sind dann die Rechts- und Linkssumme in entsprechender Reihenfolge. Der OpenStax-Graph (x − 1)³ + 4 auf [0, 2] wächst. Hier gilt L₄ = 7.5 und R₄ = 8.5; beide nähern sich mit wachsendem n dem Wert 8.