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Flächen mit Rechtecken annähern

Vier Rechtecke unter y = x² von 0 bis 2 ergeben mit linken Randpunkten 1.75 und mit rechten Randpunkten 3.75. Der genaue Flächeninhalt 8/3 liegt dazwischen.

Figuren mit bekanntem Flächeninhalt

Für Rechtecke, Dreiecke und Trapeze gibt es Flächenformeln, für Gebiete mit gekrümmtem Rand nicht ohne Weiteres. OpenStax beginnt das Kapitel über Integration mit Archimedes. Er füllte solche Gebiete mit immer kleineren Figuren mit bekanntem Flächeninhalt und addierte deren Flächen. Dieses Verfahren heißt heute Exhaustionsmethode. Die Analysis macht dasselbe mit Rechtecken. Teile das Intervall [a, b] in n gleich breite Teilintervalle mit Δx = (b − a)/n. Errichte auf jedem ein Rechteck, dessen Höhe du am Graphen abliest, und addiere die Flächeninhalte. Je mehr und je schmaler die Rechtecke sind, desto besser passen sie sich dem Graphen an.

Summenzeichen

Für viele Summanden braucht man eine kurze Schreibweise. Das große griechische Sigma schreibt eine Summe kompakt: Σi=120 i bedeutet 1 + 2 + ⋯ + 20. Der Buchstabe i ist der Laufindex. Er beginnt beim Wert unter dem Sigma und endet beim Wert darüber. Das erste Beispiel von OpenStax lautet Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Zwei Formeln sparen später Zeit: Σi=1n i = n(n + 1)/2 und Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Damit ist 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Linke und rechte Randpunkte

Jedes Rechteck braucht eine Höhe. Am einfachsten nimmst du den Funktionswert an einem Rand seines Teilintervalls. Linke Randpunkte liefern die Linkssumme Ln = Σ f(xi−1)Δx, rechte Randpunkte die Rechtssumme Rn = Σ f(xi)Δx. Für f(x) = x² auf [0, 2] mit n = 4 ist Δx = 0.5. Die linken Höhen sind f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25. Also gilt L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. Die rechten Höhen sind 0.25, 1, 2.25, 4. Damit ist R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Diese Zahlen stammen aus OpenStax.

L4 für y = x² auf [0, 2]: Rechtecke der Breite 0.5 mit linken Höhen 0, 0.25, 1 und 2.25. Ihre Summe 1.75 erfasst die darüberliegende Fläche nicht.

Weil x² auf [0, 2] wächst, liegt jedes linke Rechteck unter dem Graphen und jedes rechte ragt darüber hinaus. L4 ist also zu klein und R4 zu groß. Der genaue Flächeninhalt liegt zwischen 1.75 und 3.75. Bei einer fallenden Funktion vertauschen sich die Rollen. Verdoppelst du n auf 8, erhältst du L8 = 2.1875 und R8 = 3.1875, also engere Grenzen. Bei n = 32 liegen sie bei 2.54 und 2.79. Der genaue Wert, den Einheit 4 in einer Zeile berechnet, beträgt 8/3 ≈ 2.667.

HintergrundArchimedes nutzte im dritten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung solche Überlegungen, um den Flächeninhalt eines Parabelsegments zu bestimmen und π durch zwei Vielecke einzugrenzen. Er hatte noch keine allgemeinen Zeichen für Summen oder Grenzwerte. Jedes Ergebnis erforderte einen eigenen geometrischen Beweis. Die Idee, schmale Streifen zu addieren, musste etwa zweitausend Jahre auf eine Schreibweise warten, die daraus ein Routineverfahren machte.
Schreibe zuerst die Zerlegung auf. Für n = 4 auf [0, 2] sind die Teilungspunkte x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 und x4 = 2. Linkssummen verwenden x0 bis x3, Rechtssummen x1 bis x4.
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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

y = x² auf [0, 2] mit n = 4 linken Rechtecken. Wechsle zu Rechts und drücke mehrmals n verdoppeln. Beobachte, wie sich Ln und Rn dem Wert 8/3 ≈ 2.667 nähern.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] wird in n = 8 gleich große Teilintervalle zerlegt. Δx = ?
  6. L4 für x² auf [0, 2]?
  7. R4 für x² auf [0, 2]?
  8. L6 für x²/2 auf [0, 3] (OpenStax, Abbildung 5.5)?
  9. R6 für x²/2 auf [0, 3]?
  10. f wächst auf [a, b]. Die Linkssumme ist:
    • eine Unterschätzung
    • eine Überschätzung
    • exakt
    • negativ
Das Wichtigste
  • Δx = (b − a)/n; n Rechtecke der Breite Δx.
  • Summenschreibweise: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln verwendet linke, Rn rechte Randpunkte.
  • Für wachsendes f gilt Ln < Flächeninhalt < Rn. Mehr Rechtecke verkleinern den Abstand.
Quellen zu diesem Kurs (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Abgerufen: 2026-10-17