Das bestimmte Integral

Das Integral von 4 − x² von 0 bis 3 ist 3: 16/3 oberhalb der Achse minus 7/3 unterhalb.

Der Grenzwert der Summen

Das bestimmte Integral von f von a bis b ist der Grenzwert seiner Riemann-Summen, wenn die Anzahl der Teilintervalle unbegrenzt wächst: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx. Voraussetzung ist, dass der Grenzwert existiert und nicht von den gewählten Stützstellen abhängt. Dann heißt f auf [a, b] integrierbar. OpenStax weist darauf hin, dass jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall integrierbar ist. Für die Funktionen dieses Kurses existiert der Grenzwert also immer.

Die Schreibweise spiegelt das Bild wider. Das lange S, ∫, ist ein gedehnter Buchstabe für Summe, eingeführt von Leibniz. a und b heißen Integrationsgrenzen, f(x) heißt Integrand. dx steht für die Breite eines verschwindend schmalen Rechtecks und zeigt, über welche Variable summiert wird. Der Buchstabe x ist dabei nur eine gebundene Variable: ∫₀² x² dx und ∫₀² t² dt ergeben dieselbe Zahl 8/3.

Orientierter Flächeninhalt

Liegt f unterhalb der x-Achse, sind die Rechteckhöhen dort negativ. Diese Beiträge werden also abgezogen. Das Integral misst den orientierten Flächeninhalt: Fläche oberhalb der Achse minus Fläche unterhalb. Für f(x) = 4 − x² auf [0, 3] liegt der Graph auf [0, 2] oberhalb der Achse mit dem Flächeninhalt 16/3 und auf [2, 3] darunter mit dem Flächeninhalt 7/3. Also gilt ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Willst du den gesamten Flächeninhalt ohne Vorzeichen, integrierst du |f|. Das ergibt hier 16/3 + 7/3 = 23/3. Welcher Wert gefragt ist, hängt von der Aufgabe ab: Geht es um eine Gesamtänderung oder um die benötigte Farbmenge?

Der orientierte Flächeninhalt erklärt auch eine nützliche Symmetrie. Ist f ungerade, gilt also f(−x) = −f(x) wie bei x³ oder sin x, dann entspricht die Fläche links der y-Achse der gespiegelten und unter die Achse geklappten Fläche rechts. Daher gilt ∫_−a^a f(x) dx = 0. Bei einer geraden Funktion wie x² sind beide Hälften gleich. Das Integral über [−a, a] ist dann doppelt so groß wie das über [0, a]. Wer die Symmetrie zuerst erkennt, spart sich oft die Rechnung.

Regeln und Geometrie

Einige Eigenschaften folgen direkt aus der Definition. Das Integral über einen einzelnen Punkt ist null: ∫_a^a f dx = 0. Vertauschst du die Grenzen, wechselt das Vorzeichen: ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Integrale über benachbarte Intervalle addieren sich: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Konstante Faktoren lassen sich herausziehen, und das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale. Bei bekannten Figuren liefert die Geometrie sofort das Ergebnis: ∫₀³ 2x dx ist ein Dreieck mit Grundseite 3 und Höhe 6, also Flächeninhalt 9; ∫₀⁴ 3 dx ist ein Rechteck mit Seiten 4 und 3, also 12; und ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx ist ein halber Einheitskreis, also π/2.