Integral tentu

Integral 4 − x² dari 0 sampai 3 adalah 3: luas 16/3 di atas sumbu dikurangi 7/3 yang turun di bawahnya.

Limit jumlah

Integral tentu f dari a sampai b adalah limit jumlah Riemann ketika banyaknya bagian bertambah tanpa batas: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx, asalkan limitnya ada dan tidak bergantung pada titik sampel yang dipilih. Jika ada, f disebut terintegralkan pada [a, b]. OpenStax menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada interval tertutup dapat diintegralkan, sehingga limit itu selalu ada untuk fungsi dalam kursus ini.

Notasinya mencerminkan gambar. Huruf S memanjang, ∫, melambangkan penjumlahan dan diperkenalkan oleh Leibniz. Bilangan a dan b adalah batas integrasi, f(x) adalah integran, sedangkan dx mewakili lebar persegi panjang yang makin tipis menuju nol dan menunjukkan variabel yang dijumlahkan. Huruf x sendiri merupakan variabel semu: ∫₀² x² dx dan ∫₀² t² dt adalah bilangan yang sama, 8/3.

Luas bersih bertanda

Jika f turun ke bawah sumbu x, persegi panjang di sana memiliki tinggi negatif, sehingga luasnya dikurangkan. Integral mengukur luas bersih bertanda: luas di atas sumbu dikurangi luas di bawahnya. Untuk f(x) = 4 − x² pada [0, 3], kurva berada di atas sumbu pada [0, 2], dengan luas 16/3, dan di bawah pada [2, 3], dengan luas 7/3. Jadi ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Jika yang dicari luas total tanpa memperhitungkan tanda, integralkan |f|, yang di sini menghasilkan 16/3 + 7/3 = 23/3. Pilihannya bergantung pada pertanyaan: perubahan bersih atau banyaknya cat yang diperlukan.

Luas bertanda juga menjelaskan simetri yang berguna. Jika f ganjil, artinya f(−x) = −f(x) seperti x³ atau sin x, luas di kiri sumbu y merupakan cerminan luas di kanan yang dibalik ke bawah sumbu, sehingga ∫_−a^a f(x) dx = 0. Untuk fungsi genap seperti x², kedua bagiannya sama, dan integral pada [−a, a] adalah dua kali integral pada [0, a]. Mengenali simetri sejak awal dapat menghemat seluruh perhitungan.

Aturan dan geometri

Beberapa sifat mengikuti definisinya. Integral pada satu titik bernilai nol: ∫_a^a f dx = 0. Menukar batas mengubah tanda: ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Integral pada interval bersebelahan dapat dijumlahkan: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Konstanta dapat dikeluarkan, dan integral penjumlahan sama dengan jumlah integralnya. Jika daerahnya berupa bangun yang dikenal, geometri langsung memberikan jawabannya: ∫₀³ 2x dx adalah segitiga dengan alas 3 dan tinggi 6, luasnya 9; ∫₀⁴ 3 dx adalah persegi panjang 4 kali 3, luasnya 12; dan ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx adalah setengah lingkaran satuan, luasnya π/2.