La integral definida

La integral de 4 − x² entre 0 y 3 vale 3: los 16/3 por encima del eje menos los 7/3 que quedan por debajo.

El límite de las sumas

La integral definida de f entre a y b es el límite de sus sumas de Riemann cuando el número de subintervalos crece sin límite: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx, siempre que ese límite exista y no dependa de los puntos de muestra elegidos. Cuando existe, f es integrable en [a, b]. OpenStax señala que toda función continua en un intervalo cerrado es integrable; por tanto, para las funciones de este curso el límite siempre existe.

La notación refleja la imagen. La S alargada, ∫, representa una suma y fue introducida por Leibniz. Los números a y b son los límites de integración, f(x) es el integrando y dx representa el ancho de un rectángulo infinitamente delgado, además de indicar respecto de qué variable se suma. La letra x es una variable muda: ∫₀² x² dx y ∫₀² t² dt dan el mismo número, 8/3.

Área neta con signo

Si f queda por debajo del eje x, los rectángulos tienen alturas negativas y, por tanto, se restan. La integral mide el área neta con signo: área por encima del eje menos área por debajo. Para f(x) = 4 − x² en [0, 3], la curva está por encima del eje en [0, 2], con área 16/3, y por debajo en [2, 3], con área 7/3. Así, ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Si quieres el área total sin considerar el signo, integra |f|; aquí obtienes 16/3 + 7/3 = 23/3. La elección depende de lo que pida el problema: un cambio neto o una cantidad de pintura.

El área con signo también explica una simetría útil. Si f es impar, es decir, f(−x) = −f(x), como x³ o sin x, el área a la izquierda del eje y es el reflejo de la de la derecha, pero al otro lado del eje x; por eso ∫_−a^a f(x) dx = 0. Para una función par como x², las dos mitades son iguales y la integral en [−a, a] es el doble de la integral en [0, a]. Detectar primero la simetría puede ahorrarte todo un cálculo.

Reglas y geometría

De la definición se deducen varias propiedades. La integral sobre un único punto es cero: ∫_a^a f dx = 0. Intercambiar los límites cambia el signo: ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Las integrales sobre intervalos contiguos se suman: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Las constantes salen de la integral, y la integral de una suma es la suma de las integrales. Si la región tiene una forma conocida, la geometría da la respuesta directamente: ∫₀³ 2x dx es un triángulo de base 3 y altura 6, con área 9; ∫₀⁴ 3 dx es un rectángulo de 4 por 3, con área 12; y ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx es la mitad de un disco unitario, π/2.