판별식
x² + 2x + 5 = 0에서 b² − 4ac = 4 − 20 = −16입니다. 이 음수 하나만 보고도, 풀기 전에 포물선이 x축에 닿지 않는다는 것을 알 수 있습니다.
분수대 물줄기는 5 m까지 올라갈까요?
공원 분수대를 떠올려 보세요(지어낸 예입니다). 바닥 노즐에서 솟은 물줄기가 4 m 떨어진 곳에 떨어지고, 노즐에서 x m 떨어진 곳의 높이가 y = −x² + 4x (m)라고 하겠습니다. 이 물줄기는 5 m까지 올라갈까요? −x² + 4x = 5를 정리하면 x² − 4x + 5 = 0이고, b² − 4ac = 16 − 20 = −4입니다. 음수입니다. 이 식을 만족하는 실수 x가 없으니 물은 5 m에 닿지 못합니다. 3 m는 어떨까요? x² − 4x + 3 = 0에서 16 − 12 = 4로 양수이고, 물줄기는 x = 1과 x = 3 두 곳에서 그 높이를 지납니다. 4 m라면 16 − 16 = 0이 되어 꼭대기 x = 2 한 곳에서만 닿습니다. 첫 질문에는 근을 하나도 구하지 않고 b² − 4ac의 부호만 보고 답했습니다. 이 수가 판별식입니다. 실제 분수대 물줄기는 바람이나 공기 저항 때문에 이 식과 조금 다를 수 있습니다.
b² − 4ac의 부호가 해의 개수를 정합니다
근의 공식에서 근호 안에 있는 b² − 4ac를 판별식이라고 합니다. 해가 어떤 종류인지 가려낸다고 해서 붙은 이름입니다. 판별식이 양수이면 근호 값이 실수이고, ± 때문에 서로 다른 두 해가 나옵니다. 0이면 ±로 더하고 빼는 값이 0이라 두 해가 같은 수가 되고, 이런 해를 중근이라고 합니다. 음수이면 실수 범위에는 제곱근이 없어서 실수 해가 없습니다. 근의 공식을 다시 보면 근호 바깥의 −b와 2a는 해의 개수와 상관이 없고, 근호 안의 값만 해의 개수를 바꿉니다.
OpenStax 교재는 양수인 경우를 다시 둘로 나눕니다. b² − 4ac가 1, 16, 25처럼 완전제곱수이면 근호가 벗겨져 두 해가 모두 유리수가 되고, 그런 식은 인수분해로도 풀립니다. 5나 17처럼 완전제곱수가 아니면 해에 무리수가 들어갑니다. 앞 단원에서 판별식이 16이던 x² − 2x − 3 = 0이 (x − 3)(x + 1)로 인수분해된 것도 이 때문입니다. 아래 표에 네 경우를 모았습니다. 판별식이 음수일 때의 해는 허근이라고 하며, 복소수를 배우는 고등학교 공통수학1에서 다룹니다. 실수만 나타내는 좌표평면 위에는 나타나지 않습니다.
| b² − 4ac | 해 | 예 |
|---|---|---|
| 양의 완전제곱수 | 유리수 해 둘, x절편 2개 | x² − 5x + 6: 1 |
| 양수, 완전제곱수 아님 | 무리수 해 둘, x절편 2개 | x² + x − 1: 5 |
| 0 | 중근 하나, 꼭짓점에서 닿음 | x² − 4x + 4: 0 |
| 음수 | 실수 해 없음, x절편 없음 | x² + 2x + 5: −16 |
x축과 두 번 만나거나, 한 번 닿거나, 만나지 않습니다
ax² + bx + c = 0의 해는 y = ax² + bx + c 그래프의 x절편이므로, 판별식은 x절편의 개수도 알려 줍니다. 양수이면 포물선이 x축을 두 번 가로지릅니다. 0이면 꼭짓점에서 x축에 닿기만 합니다. y = (x − 3)²의 꼭짓점이 x축 위에 놓이는 것도 이 때문입니다. 음수이면 포물선 전체가 x축보다 위(a > 0일 때)나 아래(a < 0일 때)에 떠 있습니다. y = 2x² − 3x + 5는 b² − 4ac = 9 − 40 = −31이고 a > 0이라 곡선 전체가 x축 위에 있습니다. 분수대 물줄기와 높이 5 m 선의 관계가 바로 이 경우였습니다. 실험실에서 c만 바꾸면 포물선이 위아래로만 움직이는데, 그때마다 x축과 만나는 점의 개수가 2, 1, 0으로 바뀝니다.
x축에 꼭 한 번 닿게 하려면 c는 얼마일까요
판별식은 a, b, c로만 이루어진 식이라 거꾸로 쓸 수도 있습니다. x² − 6x + c의 그래프가 x축에 꼭 한 번 닿게 하려면 판별식을 0으로 놓습니다. 36 − 4c = 0에서 c = 9이고, 실제로 x² − 6x + 9 = (x − 3)²입니다. x² + kx + 9 = 0이 중근을 갖게 하는 양수 k도 같은 방법으로 구합니다. k² − 36 = 0이므로 k = 6입니다. k = −6일 때도 판별식이 0이 되어 x² − 6x + 9 = (x − 3)²으로 중근 3을 갖지만, 문제에서 양수를 물었으니 6만 답합니다. 분수대 문제도 마찬가지였습니다. 해를 구하느라 시간을 쓰기 전에, 해가 있기나 한지부터 물었습니다.
실험실은 판별식이 0인 y = x² − 4x + 4에서 시작합니다. c를 하나 내리면 판별식이 양수가 되어 x절편이 둘 생기고, c를 올리면 음수가 되어 포물선이 x축에서 떠오릅니다. 아래 칸이 지금 입력한 숫자로 b² − 4ac를 계산하고, 네 경우 가운데 어디에 해당하는지 알려 줍니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
- x² − 5x + 6 = 0의 판별식은 얼마일까요?
- 3x² + 2x − 1 = 0의 판별식은 얼마일까요?
- 2x² − 3x + 5 = 0의 판별식은 얼마일까요?
- x² − 4x + 4 = 0의 실수 해는 몇 개일까요?
- 하나(중근)
- 둘
- 없음
- 무수히 많음
- x² + x − 1 = 0의 해는 어떤 종류일까요?
- 무리수 해 둘
- 유리수 해 둘
- 중근 하나
- 실수 해 없음
- x² + 2x + 5 = 0의 해는 어떤 종류일까요?
- 실수 해 없음
- 유리수 해 둘
- 무리수 해 둘
- 중근 하나
- x² + kx + 9 = 0의 해가 꼭 하나가 되는 양수 k는 얼마일까요?
- y = −x² + 4x − 5의 x절편은 몇 개일까요?
- y = x² − 6x + c가 x축에 꼭 한 번 닿게 하는 c는 얼마일까요?
- 판별식이 49인 이차방정식의 해는 어떤 모습일까요?
- 유리수 해 둘
- 무리수 해 둘
- 중근 하나
- 실수 해 없음
- b = −5일 때 b² = −25로 쓰기 음수를 제곱하면 양수입니다. (−5)² = (−5) × (−5) = 25입니다. x² − 5x + 4 = 0에서 이렇게 잘못 계산하면 −25 − 16 = −41이 나와 「실수 해 없음」으로 판단하게 되지만, 맞는 값은 25 − 16 = 9이고 1과 4가 모두 해입니다.
- x² + 4x − 5 = 0처럼 c가 음수인데 −4ac를 음수로 보고 16 − 20 = −4로 쓰기 −4(1)(−5) = +20이므로 b² − 4ac = 16 + 20 = 36이고, 해는 1과 −5입니다. a와 c의 부호가 서로 반대이면 −4ac가 양수라서 판별식은 언제나 양수이고, 서로 다른 실수 해가 언제나 둘 있습니다.
- 판별식이 0이면 해가 없다고 보기 0은 해가 하나라는 뜻이고, 이 해를 중근이라고 합니다. x² − 8x + 16 = 0은 b² − 4ac = 64 − 64 = 0이고 x = 4입니다. 실수 해가 없는 것은 판별식이 음수일 때입니다.
- 판별식이 음수이면 해도 음수라고 생각하기 판별식의 부호는 근의 부호와 상관이 없습니다. x² + 4x + 3 = 0은 b² − 4ac = 16 − 12 = 4로 양수인데, 두 근 −1과 −3은 모두 음수입니다. 근의 부호가 궁금하면 근을 직접 구하거나 그래프를 보면 됩니다.
- 판별식은 제곱근 안에 있는 b² − 4ac입니다.
- 양수이면 실수 해 둘(완전제곱수이면 유리수), 0이면 중근 하나, 음수이면 실수 해가 없습니다.
- x절편의 개수 2, 1, 0도 알려 줍니다.
- 판별식을 0으로 놓으면 포물선이 축에 닿게 하는 값을 찾을 수 있습니다.
이 과정의 출처 (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
확인한 날: 2026-10-18