Diskriminan
Untuk x² + 2x + 5 = 0, b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Satu bilangan negatif sudah memberi tahu, sebelum menghitung penyelesaian, bahwa parabola tidak pernah menyentuh sumbu x.
Apakah pancaran air mancur mencapai 5 meter?
Bayangkan air mancur di taman. Air keluar dari nosel di tanah dan jatuh 4 meter dari sana. Pada jarak x meter dari nosel, tingginya y = −x² + 4x meter. (Air mancur dan angkanya adalah contoh rekaan.) Apakah air mencapai 5 meter? Tulis −x² + 4x = 5 dan susun menjadi x² − 4x + 5 = 0. Maka b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Negatif. Tidak ada x real yang memenuhi, jadi air tidak pernah setinggi itu. Coba 3 meter. x² − 4x + 3 = 0 memberi 16 − 12 = 4, sehingga pancaran melewati tinggi itu dua kali, pada x = 1 dan x = 3. Pada 4 meter, nilainya 16 − 16 = 0, dan pancaran hanya menyentuh tinggi itu sekali, di puncaknya, x = 2. Untuk menjawab pertanyaan pertama, tidak perlu mencari satu akar pun, cukup melihat tanda b² − 4ac.
b² − 4ac menentukan banyaknya penyelesaian
Dalam rumus kuadrat, bentuk b² − 4ac berada di dalam akar kuadrat. Bentuk ini disebut diskriminan karena membedakan jenis penyelesaian suatu persamaan. Tandanya menentukan semuanya. Jika positif, akar kuadratnya bilangan real dan ± menghasilkan dua penyelesaian berbeda. Jika nol, ± tidak menambah atau mengurangi apa pun, sehingga kedua jawaban adalah bilangan yang sama. Jika negatif, tidak ada akar kuadrat real, dan persamaan tidak memiliki penyelesaian real.
OpenStax membagi kasus positif menjadi dua. Jika b² − 4ac adalah kuadrat sempurna positif seperti 1, 16, atau 25, akar kuadratnya bilangan bulat dan kedua penyelesaiannya rasional, sehingga persamaan juga dapat diselesaikan dengan pemfaktoran. Jika positif tetapi bukan kuadrat sempurna, seperti 5 atau 17, penyelesaiannya memuat akar kuadrat irasional. Tabel merangkum keempat kasus. Pada kasus negatif, penyelesaiannya berupa bilangan kompleks yang melibatkan akar kuadrat bilangan negatif. Materi itu dibahas pada kursus berikutnya dan tidak muncul pada grafik bilangan real.
| b² − 4ac | Penyelesaian | Contoh |
|---|---|---|
| kuadrat sempurna positif | dua akar rasional, 2 titik potong sumbu x | x² − 5x + 6: 1 |
| positif, bukan kuadrat sempurna | dua akar irasional, 2 titik potong sumbu x | x² + x − 1: 5 |
| nol | satu akar kembar, menyentuh di titik puncak | x² − 4x + 4: 0 |
| negatif | tidak ada penyelesaian real, tidak ada titik potong sumbu x | x² + 2x + 5: −16 |
Dua perpotongan, satu sentuhan, atau tidak ada
Penyelesaian ax² + bx + c = 0 adalah titik potong sumbu x pada y = ax² + bx + c, sehingga diskriminan juga menentukan banyaknya titik potong sumbu x. Diskriminan positif berarti parabola memotong sumbu x dua kali. Nol berarti parabola hanya menyentuh sumbu di titik puncak; itulah mengapa titik puncak y = (x − 3)² berada pada sumbu. Diskriminan negatif berarti seluruh parabola tetap di atas sumbu (jika a > 0) atau di bawahnya (jika a < 0). Untuk y = 2x² − 3x + 5, b² − 4ac = 9 − 40 = −31. Karena a > 0, kurva berada seluruhnya di atas sumbu.
Bekerja mundur: nilai c mana yang membuat kurva menyentuh sumbu?
Karena diskriminan merupakan rumus dengan a, b, dan c, kamu dapat bekerja mundur. Nilai c mana yang membuat x² − 6x + c menyentuh sumbu x tepat sekali? Samakan diskriminan dengan nol: 36 − 4c = 0, sehingga c = 9. Benar saja, x² − 6x + 9 = (x − 3)². Nilai k positif mana yang membuat x² + kx + 9 = 0 memiliki akar kembar? k² − 36 = 0, sehingga k = 6. Pertanyaan air mancur memakai kebiasaan yang sama. Tanyakan apakah ada penyelesaian sebelum menghabiskan waktu untuk mencarinya.
Laboratorium dimulai dengan y = x² − 4x + 4, yang diskriminannya 0. Turunkan c satu satuan dan diskriminan menjadi positif: muncul dua titik potong. Naikkan c dan diskriminan menjadi negatif: parabola terangkat dari sumbu. Amati panel: panel menghitung b² − 4ac dengan angkamu dan menyebutkan jenis kasusnya.
Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.
- Berapakah diskriminan x² − 5x + 6 = 0?
- Berapakah diskriminan 3x² + 2x − 1 = 0?
- Berapakah diskriminan 2x² − 3x + 5 = 0?
- Berapa banyak penyelesaian real x² − 4x + 4 = 0?
- Satu (akar kembar)
- Dua
- Tidak ada
- Tak terhingga banyaknya
- Apa jenis penyelesaian x² + x − 1 = 0?
- Dua irasional
- Dua rasional
- Satu akar kembar
- Tidak ada penyelesaian real
- Apa jenis penyelesaian x² + 2x + 5 = 0?
- Tidak ada penyelesaian real
- Dua rasional
- Dua irasional
- Satu akar kembar
- Untuk k positif berapa x² + kx + 9 = 0 memiliki tepat satu penyelesaian?
- Berapa banyak titik potong sumbu x pada y = −x² + 4x − 5?
- Nilai c mana yang membuat y = x² − 6x + c menyentuh sumbu x tepat sekali?
- Sebuah persamaan kuadrat memiliki diskriminan 49. Bagaimana jenis penyelesaiannya?
- Dua penyelesaian rasional
- Dua penyelesaian irasional
- Satu akar kembar
- Tidak ada penyelesaian real
- Menulis b² = −25 saat b = −5. Kuadrat bilangan negatif bernilai positif: (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Untuk x² − 5x + 4 = 0, kekeliruan itu memberi −25 − 16 = −41 dan kesimpulan "tidak ada penyelesaian real". Padahal nilai yang benar 25 − 16 = 9, dan 1 serta 4 sama-sama memenuhi.
- Menganggap −4ac negatif saat c negatif, seperti pada x² + 4x − 5 = 0: 16 − 20 = −4. −4(1)(−5) = +20, sehingga b² − 4ac = 16 + 20 = 36 dan penyelesaiannya 1 serta −5. Jika a dan c bertanda berlawanan, −4ac positif, sehingga diskriminan positif dan selalu ada dua penyelesaian real.
- Menganggap diskriminan 0 berarti tidak ada penyelesaian. Nol berarti satu penyelesaian, yaitu akar kembar. x² − 8x + 16 = 0 memiliki b² − 4ac = 64 − 64 = 0 dan x = 4. Tidak adanya penyelesaian real ditandai diskriminan negatif.
- Mengira diskriminan negatif berarti penyelesaiannya negatif. Tanda diskriminan tidak menunjukkan tanda akar. x² + 4x + 3 = 0 memiliki b² − 4ac = 16 − 12 = 4, yang positif, tetapi kedua akarnya, −1 dan −3, negatif.
- Diskriminan adalah b² − 4ac, bagian di dalam akar kuadrat.
- Positif: dua penyelesaian real (rasional jika kuadrat sempurna). Nol: satu akar kembar. Negatif: tidak ada penyelesaian real.
- Diskriminan juga menentukan banyaknya titik potong sumbu x: 2, 1, atau 0.
- Samakan dengan 0 untuk mencari nilai yang membuat parabola menyentuh sumbu.
Sumber kursus ini (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Diperiksa: 2026-10-18