Een geworpen bal
Een bal vanaf een dak van 40 foot met 80 feet per seconde omhoog bereikt na 2.5 seconden 140 feet en landt na ongeveer 5.46 seconden.
Wanneer is de bal het hoogst en wanneer landt hij?
Eerst twee vragen, zo mogelijk met potlood. Een bal vanaf 40 foot hoogte met snelheid 80 feet per seconde heeft na t seconden hoogte H(t) = −16t² + 80t + 40. Wanneer is hij het hoogst? Wanneer raakt hij de grond? Je gebruikt eerdere hulpmiddelen: een top en een oplossing met de abc-formule. Noteer antwoorden en vergelijk met de uitwerking.
Wat −16, 80 en 40 betekenen
OpenStax geeft dit voorbeeld: vanaf een gebouw van 40 voet hoog wordt een bal met 80 voet per seconde omhooggegooid. Zijn hoogte boven de grond na t seconden wordt beschreven door H(t) = −16t² + 80t + 40. Elke term heeft betekenis. De constante 40 is de beginhoogte, want bij t = 0 blijft alleen 40 over. De term 80t geeft aan hoe hoog de bal zou komen als hij zijn beginsnelheid behield. De term −16t² is de zwaartekracht die hem terugtrekt. Die groeit sneller dan 80t, waardoor de bal uiteindelijk omkeert en valt.
Waar komt 16 vandaan? Zwaartekracht versnelt een vallend voorwerp elke seconde met ongeveer 32 feet per seconde. De standaard is 9.80665 m/s², ongeveer 32.174 ft/s². Valafstand is de helft daarvan maal t²; de helft van 32 is 16. In meters: h(t) = −4.9t² + vt + h₀. We negeren luchtweerstand, redelijk voor een zware bal gedurende enkele seconden, niet voor een veer.
De top: 140 feet na 2.5 seconden
H(t) is een kwadratische functie met a = −16. Haar grafiek opent dus naar beneden en de top is het hoogste punt. Het tijdstip van die top is t = −b/(2a) = −80/(2 × (−16)) = 80/32 = 2.5 seconden. De hoogte daar is H(2.5) = −16(6.25) + 80(2.5) + 40 = −100 + 200 + 40 = 140 voet. De bal stijgt dus tweeënhalve seconde, bereikt 140 voet en valt daarna. De topformule beantwoordt hier een natuurkundige vraag: wanneer stopt de bal met stijgen?
Landing na ongeveer 5.46 seconden
De bal raakt de grond als H(t) = 0, dus −16t² + 80t + 40 = 0. Dat laat zich niet mooi ontbinden, dus gebruik de abc-formule: t = (−80 ± √(80² − 4(−16)(40))) / (2(−16)) = (−80 ± √8960) / (−32). De antwoorden zijn ongeveer 5.458 en −0.458. Een negatieve tijd ligt vóór de worp en buiten de situatie van het model. De bal landt dus na ongeveer 5.458 seconden. De discriminant 8960 is positief, wat past bij een grafiek die de tijdas kruist.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Dezelfde topmethode voor een hek en een prijs
Dezelfde topmethode lost problemen zonder bal op. In een ander OpenStax-voorbeeld heeft een tuinier 80 voet hekwerk voor drie zijden van een rechthoek. Het bestaande achtertuinhek vormt de vierde zijde. Noem de lengte van elke zijde loodrecht op dat hek L. De lange zijde is 80 − 2L en de oppervlakte A(L) = L(80 − 2L) = 80L − 2L². De top ligt bij L = −80/(2 × (−2)) = 20. De beste tuin is dus 20 bij 40 voet, met oppervlakte 800 vierkante voet. Een model voor krantenomzet in hetzelfde onderdeel bereikt zijn maximum bij $31.80 per abonnement.
- Bij H(t) = −16t² + 80t + 40, na hoeveel seconden is de bal het hoogst?
- Wat is zijn maximale hoogte in feet?
- Na hoeveel seconden raakt hij de grond? Twee decimalen.
- Hoogte na 1 seconde, in feet?
- Een steen vanaf een klif van 112 foot volgt H(t) = −16t² + 96t + 112. Wanneer is hij het hoogst, in seconden?
- Maximale steenhoogte in feet?
- Na hoeveel seconden raakt de steen de oceaan?
- Met 80 ft hek voor drie zijden geldt A(L) = 80L − 2L². Welke L in feet geeft de grootste oppervlakte?
- Wat is de grootste oppervlakte in vierkante feet?
- Waarom wordt t ≈ −0.458 afgewezen?
- Het is een tijd vóór de worp
- De discriminant is negatief
- Hoogten kunnen geen kommagetallen zijn
- De formule geeft maar één antwoord
- t = −b/(2a) als maximale hoogte geven. −b/(2a) is de toptijd, niet de hoogte. Bij een verzonnen worp h(t) = −4.9t² + 9.8t + 2 in meters komt de top bij t = 9.8/9.8 = 1 seconde. De hoogte is h(1) = −4.9 + 9.8 + 2 = 6.9 meter.
- −16t² gebruiken bij hoogten in meters. 16 is de helft van ongeveer 32 ft/s² en hoort bij feet. In meters is het −4.9t², de helft van 9.80665 m/s² afgerond.
- −16t² bij t = 2 berekenen als (−16 × 2)² = 1024. Alleen t wordt gekwadrateerd: −16 × 2² = −16 × 4 = −64. Dus H(2) = −64 + 160 + 40 = 136 feet.
- H(t) = −16t² + vt + h₀ in feet; 16 is de helft van zwaartekrachtsversnelling 32 ft/s².
- De top: t = −b/(2a), met hoogte H(t) op dat moment.
- Landingstijd: los H(t) = 0 op en behoud de positieve oplossing.
- Oppervlakte- en opbrengstopgaven gebruiken dezelfde topmethode.
Bronnen van deze cursus (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Geraadpleegd: 2026-10-18